Verifique se os campos de vetores abaixo são conservativos e, em caso afirmativo, encontre o seu potencial:
;
Passo 1
O enunciado dá o campo de vetores
e pede para verificar se é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial
tal que
. Vamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais cruzadas e, depois, integrar para obter o potencial.
Passo 2
O domínio aqui é
, que é aberto e simplesmente conexo. Denotando
e
, calculamos
Como
em todo o domínio,
é conservativo.
Passo 3
Para achar o potencial
, integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função “constantemente” dependente de
.
Passo 4
Agora exigimos que
seja igual a
. Calculamos
e impomos
Fazendo a integral em
, obtemos
onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
A campo
é conservativo, e uma função potencial é
onde
é constante.