Verifique se os campos de vetores abaixo são conservativos e, em caso afirmativo, encontre o seu potencial:
F(x, y)=x^2 i+y^5 j;

Passo 1

O enunciado dá o campo de vetores
F(x,y)=x^2,i+y^5,j
e pede para verificar se é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial f(x,y) tal que nabla f=F. Vamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais cruzadas e, depois, integrar para obter o potencial.

Passo 2

O domínio aqui é R^2, que é aberto e simplesmente conexo. Denotando P(x,y)=x^2 e Q(x,y)=y^5, calculamos
partial Ppartial y(x,y)=0, partial Qpartial x(x,y)=0
Como partial P/partial y=partial Q/partial x em todo o domínio, F é conservativo.

Passo 3

Para achar o potencial f(x,y), integramos P(x,y)=x^2 em relação a x, tratando y como constante:
f(x,y)=integral x^2,dx=13x^3+g(y),
onde g(y) é uma função “constantemente” dependente de y.

Passo 4

Agora exigimos que partial f/partial y seja igual a Q(x,y)=y^5. Calculamos
partial fpartial y(x,y)=g'(y)
e impomos
g'(y)=y^5
Fazendo a integral em y, obtemos
g(y)=integral y^5,dy=16y^6+C,
onde C é uma constante arbitrária.

Resposta

A campo F é conservativo, e uma função potencial é
f(x,y)=13x^3+16y^6+C,
onde C é constante.

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