Ache uma base e a dimensão do espaço de soluções de cada um dos sistemas lineares abaixo em :
Passo 1
Temos um sistema homogêneo de três equações e cinco incógnitas em R^5. O conteúdo da matéria é encontrar o espaço de soluções (o espaço-nulo) de uma matriz de coeficientes. Para isso, vamos usar eliminação de Gauss e parametrizar as variáveis livres.
Passo 2
Da primeira equação -3x1 - x2 = 0 isolamos x2:
x2 = -3x1
Em seguida, substituímos este resultado nas segunda e terceira equações:
Passo 3
Na segunda equação temos
x1 + 3x2 + x3 -4x4 + 2x5 = 0
Substituindo x2=-3x1 vem
-8x1 + x3 -4x4 + 2x5 = 0
logo
x3 = 8x1 +4x4 -2x5
Na terceira equação
4x1 +4x2 + x3 -5x4 + 2x5 = 0
fica
-8x1 + x3 -5x4 + 2x5 = 0
logo
x3 = 8x1 +5x4 -2x5
Passo 4
Igualando as duas expressões de x3 obtemos
8x1 +4x4 -2x5 = 8x1 +5x4 -2x5
que implica x4 = 0. Substituindo de volta, ficamos com
x3 = 8x1 -2x5,
x2 = -3x1,
x4 = 0 e x5 livre.
Passo 5
Definimos os parâmetros livres s = x1 e t = x5. Assim todas as variáveis são