Ache uma base e a dimensão do espaço de soluções de cada um dos sistemas lineares abaixo em R^n :
cccc-3 x1 & -x2 x1 & +3 x2+x3-4 x4+2 x5=0 4 x1+4 x2+x3-5 x4+2 x5=0

Passo 1

Temos um sistema homogêneo de três equações e cinco incógnitas em R^5. O conteúdo da matéria é encontrar o espaço de soluções (o espaço-nulo) de uma matriz de coeficientes. Para isso, vamos usar eliminação de Gauss e parametrizar as variáveis livres.

Passo 2

Da primeira equação -3x1 - x2 = 0 isolamos x2:
x2 = -3x1
Em seguida, substituímos este resultado nas segunda e terceira equações:

Passo 3

Na segunda equação temos
x1 + 3x2 + x3 -4x4 + 2x5 = 0
Substituindo x2=-3x1 vem
-8x1 + x3 -4x4 + 2x5 = 0
logo
x3 = 8x1 +4x4 -2x5
Na terceira equação
4x1 +4x2 + x3 -5x4 + 2x5 = 0
fica
-8x1 + x3 -5x4 + 2x5 = 0
logo
x3 = 8x1 +5x4 -2x5

Passo 4

Igualando as duas expressões de x3 obtemos
8x1 +4x4 -2x5 = 8x1 +5x4 -2x5
que implica x4 = 0. Substituindo de volta, ficamos com
x3 = 8x1 -2x5,
x2 = -3x1,
x4 = 0 e x5 livre.

Passo 5

Definimos os parâmetros livres s = x1 e t = x5. Assim todas as variáveis são
x1 = s,
x2 = -3s,
x3 = 8s -2t,
x4 = 0,
x5 = t
Portanto a solução geral é
(s,-3s,8s-2t,0,t) = s,(1,-3,8,0,0) + t,(0,0,-2,0,1)

Resposta

Uma base do espaço de soluções é (1,-3,8,0,0),,(0,0,-2,0,1) e sua dimensão é 2.

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