Determine bases ortonormais para ker A, ker A^t, Im A e Im A^t para as matrizes A abaixo:
rrrr-1 & 1 & 1 & 2 1 & 0 & 0 & 2 1 & 1 & 1 & 6

Passo 1

A questão pede que a gente ache bases ortonormais para os subespaços fundamentais de A: ker A, ker A^T, Im,A e Im,A^T. Vamos usar escalonamento para obter núcleos e colunas independentes, e depois Gram–Schmidt para ortonormalizar.

Passo 2

Para ker A resolvemos A x=0. Fazendo a eliminação gaussiana obtemos as equações x1+2x4=0 e x2+x3+4x4=0. Definindo x3=s, x4=t segue
x=s;= ;s,(0,-1,1,0);+ t,(-2,-4,0,1)

Passo 3

Agora aplicamos Gram–Schmidt em v1=(0,-1,1,0) e v2=(-2,-4,0,1). Primeiro normalizamos v1:
u1=1raiz2(0,-1,1,0)

Passo 4

Em seguida ortogonalizamos e normalizamos v2 em relação a u1:
u2=1raiz13(-2,-2,-2,1)

Passo 5

Portanto uma base ortonormal de ker A é ,u1,u2.

Passo 6

Para Im,A usamos as colunas 1 e 2 de A, que são independentes: a1=(-1,1,1), a2=(1,0,1). Gram–Schmidt dá
e1=1raiz3(-1,1,1)

Passo 7

e2=1raiz2(1,0,1)

Passo 8

Então e1,e2 é uma base ortonormal de Im,A.

Passo 9

Para ker A^T resolvemos A^T y=0 e encontramos
y=t,(-1,-2,1)

Passo 10

Normalizando vem
f=1raiz6(-1,-2,1)

Passo 11

Logo f é base ortonormal de ker A^T.

Passo 12

Para Im,A^T tomamos as linhas não nulas da forma escalonada de A: r1=(1,0,0,2), r2=(0,1,1,4). Gram–Schmidt dá
g1=1raiz5(1,0,0,2)

Passo 13

g2=1raiz130(-8,5,5,4)

Passo 14

Portanto g1,g2 é uma base ortonormal de Im,A^T.

Resposta

Bases ortonormais:
ker A: ltfrac1raiz2(0,-1,1,0),;tfrac1raiz13(-2,-2,-2,1)r
ker A^T: ltfrac1raiz6(-1,-2,1)r
Im,A: ltfrac1raiz3(-1,1,1),;tfrac1raiz2(1,0,1)r
Im,A^T: ltfrac1raiz5(1,0,0,2),;tfrac1raiz130(-8,5,5,4)r

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