Determine bases ortonormais para para as matrizes abaixo:
Passo 1
A questão pede que a gente ache bases ortonormais para os subespaços fundamentais de A: ker A, ker A^T, Im,A e Im,A^T. Vamos usar escalonamento para obter núcleos e colunas independentes, e depois Gram–Schmidt para ortonormalizar.
Passo 2
Para ker A resolvemos A x=0. Fazendo a eliminação gaussiana obtemos as equações x1+2x4=0 e x2+x3+4x4=0. Definindo x3=s, x4=t segue
x=s;= ;s,(0,-1,1,0);+ t,(-2,-4,0,1)
Passo 3
Agora aplicamos Gram–Schmidt em v1=(0,-1,1,0) e v2=(-2,-4,0,1). Primeiro normalizamos v1:
u1=1raiz2(0,-1,1,0)
Passo 4
Em seguida ortogonalizamos e normalizamos v2 em relação a u1:
u2=1raiz13(-2,-2,-2,1)
Passo 5
Portanto uma base ortonormal de ker A é ,u1,u2.
Passo 6
Para Im,A usamos as colunas 1 e 2 de A, que são independentes: a1=(-1,1,1), a2=(1,0,1). Gram–Schmidt dá
e1=1raiz3(-1,1,1)
Passo 7
e2=1raiz2(1,0,1)
Passo 8
Então e1,e2 é uma base ortonormal de Im,A.
Passo 9
Para ker A^T resolvemos A^T y=0 e encontramos
y=t,(-1,-2,1)
Passo 10
Normalizando vem
f=1raiz6(-1,-2,1)
Passo 11
Logo f é base ortonormal de ker A^T.
Passo 12
Para Im,A^T tomamos as linhas não nulas da forma escalonada de A: r1=(1,0,0,2), r2=(0,1,1,4). Gram–Schmidt dá
g1=1raiz5(1,0,0,2)
Passo 13
g2=1raiz130(-8,5,5,4)
Passo 14
Portanto g1,g2 é uma base ortonormal de Im,A^T.
Resposta
Bases ortonormais:
ker A: ltfrac1raiz2(0,-1,1,0),;tfrac1raiz13(-2,-2,-2,1)r