Verifique que cc2 & i i & 2 é normal.
15 Mostre que operadores auto-adjuntos, unitários e ortogonais são normais.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, verificar que a matriz A=2 & ii & 2 é normal (ou seja, satisfaz AA^*=A^*A); segundo, mostrar que operadores auto-adjuntos ( T^*=T), unitários ( T^*=T^-1) e ortogonais ( T^T=T^-1) são todos normais.

Passo 2

Para começar, calculamos a conjugada transposta de A. Como os elementos são complexos, fazemos conjugação e depois transposição. Temos
A^*=A^T=2 & -i-i & 2

Passo 3

Agora multiplicamos A por A^*. Usando multiplicação de matrizes:
AA^*=2 & ii & 2 2 & -i-i & 2 =2cdot2 + icdot(-i) & 2cdot(-i) + icdot2 icdot2 + 2cdot(-i) & icdot(-i) + 2cdot2 =4+1 & -2i+2i2i-2i & 1+4 =5 & 00 & 5

Passo 4

Fazendo a ordem inversa, A^*A, obtemos exatamente o mesmo cálculo (pois a estrutura é simétrica neste caso), logo
$$A^*A= A^*A=5 & 00 & 5 .
$$

Passo 5

Como AA^*=A^*A, concluímos que A é normal.

Passo 6

Agora, de modo geral, um operador T é normal se TT^*=T^*T.
Se T é auto-adjunto, então T^*=T. Logo
$$TT*=T,T=T2\quade\quad T*T=T,T=T2,
$$portanto TT^*=T,T=T^2e T^*T=T,T=T^2, .

Passo 7

Se T é unitário, então T^*=T^-1. Daí
TT^*=T,T^-1=I e T^*T=T^-1T=I, logo TT^*=T^*T.
Um operador ortogonal é só o caso real de um operador unitário, pois T^T=T^-1 e em espaço real T^*=T^T. Logo a mesma demonstração vale.
Assim mostramos que matrizes auto-adjuntas, unitárias e ortogonais são sempre normais.

Resposta

A é normal porque calculamos e vimos que AA^*=A^*A=5&00&5. Além disso, operadores auto-adjuntos ( T^*=T), unitários ( T^*=T^-1) e ortogonais ( T^T=T^-1) satisfazem sempre TT^*=T^*T, logo todos são normais.

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