Verifique que é normal.
15 Mostre que operadores auto-adjuntos, unitários e ortogonais são normais.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro, verificar que a matriz é normal (ou seja, satisfaz ); segundo, mostrar que operadores auto-adjuntos (), unitários () e ortogonais () são todos normais.
Passo 2
Para começar, calculamos a conjugada transposta de . Como os elementos são complexos, fazemos conjugação e depois transposição. Temos
Passo 3
Agora multiplicamos A por A^*. Usando multiplicação de matrizes:
Fazendo a ordem inversa, A^*A, obtemos exatamente o mesmo cálculo (pois a estrutura é simétrica neste caso), logo
$$A^*A=A^*A=5 & 00 & 5 .
$$
Passo 5
Como AA^*=A^*A, concluímos que A é normal.
Passo 6
Agora, de modo geral, um operador T é normal se TT^*=T^*T.
Se T é auto-adjunto, então T^*=T. Logo
$$TT*=T,T=T2\quade\quad T*T=T,T=T2,
$$portanto TT^*=T,T=T^2e T^*T=T,T=T^2, .
Passo 7
Se T é unitário, então T^*=T^-1. Daí
TT^*=T,T^-1=I e T^*T=T^-1T=I, logo TT^*=T^*T.
Um operador ortogonal é só o caso real de um operador unitário, pois T^T=T^-1 e em espaço real T^*=T^T. Logo a mesma demonstração vale.
Assim mostramos que matrizes auto-adjuntas, unitárias e ortogonais são sempre normais.
Resposta
A é normal porque calculamos e vimos que AA^*=A^*A=5&00&5. Além disso, operadores auto-adjuntos (T^*=T), unitários (T^*=T^-1) e ortogonais (T^T=T^-1) satisfazem sempre TT^*=T^*T, logo todos são normais.