Determine quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de
. Justifique as suas respostas.
e
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto F ⊆ ℝ² definido por F = {(x,y) ∈ ℝ² ∣ x ∈ ℝ e y ∈ ℝ} é um subespaço vetorial de ℝ². O conteúdo aqui é teoria de subespaços vetoriais, e vamos precisar checar as três propriedades principais: presença do vetor zero, fechamento sob soma e fechamento sob multiplicação escalar.
Passo 2
Para ver se F contém o vetor zero, note que o vetor zero em ℝ² é (0,0). Como 0 ∈ ℝ e 0 ∈ ℝ, temos (0,0) ∈ F.
Passo 3
Para checar fechamento sob adição, tomamos dois vetores genéricos em F, digamos (x₁,y₁) e (x₂,y₂), onde x₁,x₂,y₁,y₂ ∈ ℝ. A soma é (x₁ + x₂, y₁ + y₂). Como a soma de números reais é real, x₁ + x₂ ∈ ℝ e y₁ + y₂ ∈ ℝ, logo (x₁ + x₂, y₁ + y₂) ∈ F.
Passo 4
Para checar fechamento sob multiplicação por escalar, seja α ∈ ℝ e (x,y) ∈ F. O produto α·(x,y) = (αx, αy). Como α,x,y ∈ ℝ e o produto de reais é real, temos αx ∈ ℝ e αy ∈ ℝ, logo (αx, αy) ∈ F.
Passo 5
Concluindo: F satisfaz as três propriedades necessárias e, na verdade, F é todo ℝ². Portanto, F é um subespaço vetorial de ℝ².
Resposta
Sim. F é todo ℝ² e, portanto, satisfaz presença do vetor zero, fechamento sob soma e sob multiplicação escalar, sendo assim um subespaço vetorial.