12-Sejam e retas reversas. Mostre que existem e tais que , para quaisquer que sejam X in r e Y in s.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos duas retas reversas r e s e queremos provar que existe um par de pontos P ∈ r e Q ∈ s tais que o segmento PQ seja menor ou igual a qualquer segmento XY com X ∈ r e Y ∈ s. O conteúdo envolve geometria no espaço e definição de distância entre retas reversas.
Passo 2
Para começar, escolho pontos A ∈ r e B ∈ s e defino vetores diretores u para r e v para s. Como as retas são reversas (nem coincidentes nem paralelas), o produto vetorial u times v é não nulo. Esse vetor n = u times v é perpendicular ao plano gerado por u e v e será a direção do segmento mínimo entre as retas.
Passo 3
Lembro que a distância entre duas retas reversas pode ser expressa como a projeção do vetor que liga A a B sobre a direção n. Ou seja:
d = |(B - A) cdot n||n|
Passo 4
Para quaisquer X ∈ r e Y ∈ s, consideramos o vetor XY = Y - X. A projeção desse vetor na direção de n tem comprimento l|(Y - X) cdot n/|n|r| >= d
, que por definição de d satisfaz
XY
Como o comprimento de |XY| >= l|(Y - X) cdot n/|n|r| >= d é maior ou igual ao de qualquer projeção, temos
Passo 5
Para construir P e Q que atinjam essa distância mínima, fazemos o seguinte: montamos um plano π contendo r e perpendicular a n; esse plano intercepta s em um ponto Q. Em seguida projetamos ortogonalmente Q sobre r ao longo de n, obtendo P. Por construção, PQ é perpendicular a ambas as retas e tem comprimento exato d.
Passo 6
Concluímos que, para esse par (P,Q),
PQ = d <= |XY| = XY
para quaisquer X ∈ r e Y ∈ s. Portanto, o segmento PQ é de comprimento menor ou igual a qualquer segmento que ligue r a s.
Resposta
Os pontos P ∈ r e Q ∈ s obtidos pelo segmento perpendicular comum têm distância mínima d entre as retas, logo PQ = d <= XY para quaisquer X ∈ r e Y ∈ s.