12-Sejam r e s retas reversas. Mostre que existem P in r e Q in s tais que P Q <= X Y, para quaisquer que sejam X in r e Y in s.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos duas retas reversas r e s e queremos provar que existe um par de pontos P ∈ r e Q ∈ s tais que o segmento PQ seja menor ou igual a qualquer segmento XY com X ∈ r e Y ∈ s. O conteúdo envolve geometria no espaço e definição de distância entre retas reversas.

Passo 2

Para começar, escolho pontos A ∈ r e B ∈ s e defino vetores diretores u para r e v para s. Como as retas são reversas (nem coincidentes nem paralelas), o produto vetorial u times v é não nulo. Esse vetor n = u times v é perpendicular ao plano gerado por u e v e será a direção do segmento mínimo entre as retas.

Passo 3

Lembro que a distância entre duas retas reversas pode ser expressa como a projeção do vetor que liga A a B sobre a direção n. Ou seja:
d = |(B - A) cdot n||n|

Passo 4

Para quaisquer X ∈ r e Y ∈ s, consideramos o vetor XY = Y - X. A projeção desse vetor na direção de n tem comprimento
l|(Y - X) cdot n/|n|r| >= d
, que por definição de d satisfaz
XY
Como o comprimento de |XY| >= l|(Y - X) cdot n/|n|r| >= d é maior ou igual ao de qualquer projeção, temos

Passo 5

Para construir P e Q que atinjam essa distância mínima, fazemos o seguinte: montamos um plano π contendo r e perpendicular a n; esse plano intercepta s em um ponto Q. Em seguida projetamos ortogonalmente Q sobre r ao longo de n, obtendo P. Por construção, PQ é perpendicular a ambas as retas e tem comprimento exato d.

Passo 6

Concluímos que, para esse par (P,Q),
PQ = d <= |XY| = XY
para quaisquer X ∈ r e Y ∈ s. Portanto, o segmento PQ é de comprimento menor ou igual a qualquer segmento que ligue r a s.

Resposta

Os pontos P ∈ r e Q ∈ s obtidos pelo segmento perpendicular comum têm distância mínima d entre as retas, logo PQ = d <= XY para quaisquer X ∈ r e Y ∈ s.

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