Calcule um vetor diretor para a reta 2 x-12=1-y=3 z+3. Escreva esta última equação na forma vetorial.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta em forma simétrica 2x-12=1-y=3z+3. Queremos extrair um vetor diretor, que indica a direção da reta, e depois colocar tudo na forma vetorial vec r=vec r0+t,vec v. Para isso vamos converter a forma simétrica em forma paramétrica.

Passo 2

Definimos o parâmetro t pela igualdade
t=2x-12=1-y=3z+3
Da primeira parte temos:
2x-12=timplies 2x-1=2timplies x=t+tfrac12

Passo 3

Da segunda e terceira partes:
1-y=timplies y=1-t,
3z+3=timplies 3z=t-3implies z=tfract-33=tfrac t3-1

Passo 4

Agora a forma paramétrica da reta é
x=tfrac12+t, y=1-t, z=-1+tfrac t3
O vetor diretor vem dos coeficientes de t, ou seja
vec v=(1,-1,tfrac13)
Podemos multiplicar por 3 para ter coordenadas inteiras: vec v=(3,-3,1).

Passo 5

Escolhendo o ponto correspondente a t=0, temos vec r0=(tfrac12,1,-1). Assim a forma vetorial da reta fica
vec r=tfrac121-1+s,3-31,
onde sin R é o parâmetro.

Passo 6

O vetor diretor da reta é (3,-3,1) e a equação vetorial é dada acima.

Resposta

Um vetor diretor é (3,-3,1). A forma vetorial da reta é:
vec r=tfrac121-1+t,3-31, tin R

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