Considere a reta r de equações
l x=1-lambda y=-2+3 lambda z=2-lambda
Mostre que a reta definida pelas equações
l x=-4+2 lambda y=13-6 lambda z=-3+2 lambda
coincide com r.

Passo 1

Resumo da questão: a parada aqui é mostrar que duas retas paramétricas no espaço são a mesma. A reta r tá dada por
x = 1 - lambda y = -2 + 3lambda z = 2 - lambda
e a outra reta s é
x = -4 + 2mu y = 13 - 6mu z = -3 + 2mu
O conteúdo é geometria analítica de retas no espaço: pra mostrar coincidência, basta provar que elas são paralelas (vetores diretores colineares) e compartilham pelo menos um ponto.

Passo 2

Identificar vetores diretores: da reta r o vetor diretor é
vr = (-1,3,-1)
da reta s o vetor diretor é
vs = (2,-6,2)
Agora percebemos que
vs = -2,( -1,3,-1 ) = -2vr
Logo as retas são paralelas (vetores diretores colineares).

Passo 3

Exibir um ponto de cada reta: pra r, quando lambda=0 temos
Pr = (1,-2,2)
pra s, quando mu=0 temos
Ps = (-4,13,-3)
Agora vamos checar se Ps pertence à reta r: buscamos lambda0 tal que
1 - lambda0 = -4,
logo lambda0 = 5. Verificando as outras coordenadas:
-2 + 3cdot5 = 13,
2 - 5 = -3,
tudo bate. Então Ps está em r.

Passo 4

Conclusão: como a reta s é paralela a r e tem um ponto em comum ( Ps), ela coincide exatamente com r.

Resposta

As duas retas coincidem porque têm vetores diretores colineares e compartilham o ponto (-4,13,-3).

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