(Ex 3.12) O Sol irradia uma potência total de aproximadamente 3,86 \times 10^{26} watts (W). Se imaginarmos a superfície do Sol demarcada com latitude e longitude e considerarmos uma irradiação uniforme, (a) que potência é irradiada pela região que se localiza entre a latitude 50^{\circ} \mathbf{N} (norte) e 60^{\circ} \mathbf{N} e longitude 12^{\circ} \mathbf{O} (oeste) e 27^{\circ} \mathbf{O} ? (b) Qual é a densidade de potência em uma superfície esférica a 149.668 .992 km (93.000.000 milhas) do Sol, em W/m²?

Passo 1

O enunciado nos dá a potência total irradiada pelo Sol, P_{\rm tot}=3,86\times10^{26}\,\text{W}, e pede:
(a) a potência emitida por uma faixa da superfície solar entre latitudes 50^\circ\text{N}\le\varphi\le60^\circ\text{N} e longitudes 12^\circ\text{O}\le\lambda\le27^\circ\text{O}, supondo irradiação uniforme;
(b) a densidade de potência numa esfera de raio r=149.668.992\,\text{km} em torno do Sol.
Para (a) usaremos geometria de área em coordenadas esféricas e para (b) o fluxo P/(4\pi r^2).

Passo 2

Na superfície de uma esfera de raio R, o elemento de área é
dA = R^2\cos\varphi\,d\varphi\,d\lambda.
Para a região dada, \varphi varia de \varphi_1=50^\circ a \varphi_2=60^\circ e \lambda de \lambda_1=-27^\circ a \lambda_2=-12^\circ. Assim a área da região é
A_{\rm reg} =R^2\int_{\lambda_1}^{\lambda_2}\!\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\cos\varphi\,d\varphi\,d\lambda =R^2\,\Delta\lambda\bigl(\sin\varphi_2-\sin\varphi_1\bigr),
com \Delta\lambda=(27^\circ-12^\circ)=15^\circ=\tfrac{\pi}{12}\,\text{rad}.

Passo 3

A fração da área dessa região em relação à área total 4\pi R^2 é
\frac{A_{\rm reg}}{4\pi R^2} =\frac{\Delta\lambda\bigl(\sin60^\circ-\sin50^\circ\bigr)}{4\pi} =\frac{\pi/12\;\bigl(\sin60^\circ-\sin50^\circ\bigr)}{4\pi} =\frac{\sin60^\circ-\sin50^\circ}{48}.
Numericamente,
\sin60^\circ\approx0,8660, \sin50^\circ\approx0,7660,
\sin60^\circ-\sin50^\circ\approx0,1000,
logo a fração vale \approx0,1000/48\approx0,002083.
Portanto a potência da região é
P_{(a)} =P_{\rm tot}\times0,002083 \approx3,86\times10^{26}\times0,002083 \approx8,04\times10^{23}\,\text{W}.

Passo 4

Para (b), a densidade de potência (fluxo) a uma distância r do Sol é
I=\frac{P_{\rm tot}}{4\pi r^2}.
Convertendo r=149.668.992\,\text{km}=1,49668992\times10^{11}\,\text{m} e calculando
4\pi r^2 \approx4\pi\bigl(1,4967\times10^{11}\bigr)^2 \approx2,82\times10^{23}\,\text{m}^2,
obtemos
I\approx\frac{3,86\times10^{26}}{2,82\times10^{23}} \approx1,37\times10^{3}\,\text{W/m}^2.

Resposta

(a) P_{(a)}\approx8,04\times10^{23}\,\text{W}.
(b) I\approx1,37\times10^{3}\,\text{W/m}^2.

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