(Ex 3.8) Use a lei de Gauss na forma integral para mostrar que um campo que varia com o inverso da distância em coordenadas esféricas, \mathbf{D}=A \mathbf{a}_{l} / r, onde A é uma constante, necessita de todas as cascas esféricas de 1 m de espessura para conter 4 \pi \mathrm{~A} coulombs de carga. Isso indica uma distribuição contínua de cargas? Se sim, encontre a variação da densidade de cargas com r .

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos o campo \mathbf{D}=\frac{A}{r}\,\mathbf{a}_r em coordenadas esféricas e queremos usar a forma integral da lei de Gauss
\oint_S \mathbf{D}\cdot d\mathbf{S} = Q_{\text{enc}}
para mostrar que cada casca esférica de espessura 1 m contém 4\pi A C. Depois, devemos dizer se isso implica distribuição contínua de carga e, em caso afirmativo, encontrar \rho(r).

Passo 2

Escolhendo S como uma esfera de raio r, o elemento de área é d\mathbf{S}= \mathbf{a}_r\,dS com dS=r^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi e \mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=(A/r)\,dS. Como a área total da esfera é 4\pi r^2, o fluxo é
\Phi = \oint_S \mathbf{D}\cdot d\mathbf{S} = \frac{A}{r}\,4\pi r^2 = 4\pi A\,r.

Passo 3

Pela lei de Gauss, esse fluxo é a carga envolvida até o raio r:
Q(r)=4\pi A\,r.
A carga contida entre r e r+1 é
Q(r+1)-Q(r) =4\pi A\,(r+1)-4\pi A\,r =4\pi A,
ou seja, cada casca de espessura 1 m carrega 4\pi A C.

Passo 4

Como a carga cresce continuamente com r e não se concentra em superfícies ou pontos isolados, trata-se de uma distribuição volumétrica contínua de carga.

Passo 5

Para achar a densidade volumétrica \rho(r), note que em um elemento esférico de espessura dr temos
dQ=4\pi A\,dr, \quad dV=4\pi r^2\,dr.
Logo
\rho(r)=\frac{dQ}{dV} =\frac{4\pi A\,dr}{4\pi r^2\,dr} =\frac{A}{r^2}.

Resposta

Sim, é uma distribuição contínua de carga. A densidade volumétrica varia como
\rho(r)=\frac{A}{r^2}.

Exercícios relacionados