(Ex 3.8) Use a lei de Gauss na forma integral para mostrar que um campo que varia com o inverso da distância em coordenadas esféricas,
, onde
é uma constante, necessita de todas as cascas esféricas de 1 m de espessura para conter
coulombs de carga. Isso indica uma distribuição contínua de cargas? Se sim, encontre a variação da densidade de cargas com r .
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: temos o campo
em coordenadas esféricas e queremos usar a forma integral da lei de Gauss
para mostrar que cada casca esférica de espessura
m contém
C. Depois, devemos dizer se isso implica distribuição contínua de carga e, em caso afirmativo, encontrar
.
Passo 2
Escolhendo
como uma esfera de raio
, o elemento de área é
com
e
. Como a área total da esfera é
, o fluxo é
Passo 3
Pela lei de Gauss, esse fluxo é a carga envolvida até o raio
:
A carga contida entre
e
é
ou seja, cada casca de espessura
m carrega
C.
Passo 4
Como a carga cresce continuamente com
e não se concentra em superfícies ou pontos isolados, trata-se de uma distribuição volumétrica contínua de carga.
Passo 5
Para achar a densidade volumétrica
, note que em um elemento esférico de espessura
temos
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Resposta
Sim, é uma distribuição contínua de carga. A densidade volumétrica varia como