(Ex 3.20) Uma distribuição radial de campo elétrico, no espaço livre, é dada, em coordenadas esféricas, por:
\begin{aligned} & \mathbf{E}_{1}=\frac{r \rho_{0}}{3 \epsilon_{0}} \mathbf{a}_{r} \quad(r \leq a) \\\ & \mathbf{E}_{2}=\frac{\left(2 a^{3}-r^{3}\right) \rho_{0}}{3 \epsilon_{0} r^{2}} \mathbf{a}_{r} \quad(a \leq r \leq b) \\\ & \mathbf{E}_{3}=\frac{\left(2 a^{3}-b^{3}\right) \rho_{0}}{3 \epsilon_{0} r^{2}} \mathbf{a}_{r} \quad(r \geq b) \end{aligned}
onde \rho_{0}, a e b são constantes. (a) Determine a densidade volumétrica de carga na região inteira ( 0 \r abla \r=\rho_{v}\(. (b) Utilizando os parâmetros fornecidos, encontre a carga total, Q , no interior de uma esfera de raio\)r\(, onde\)r>b.

Passo 1

O enunciado dá um campo elétrico radial, em coordenadas esféricas, definido por três expressões em r e pede duas coisas:
  1. A densidade volumétrica de carga \rho_{v}(r) em toda a região usando
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho_{v}}{\epsilon_{0}}.
  1. A carga total Q dentro de uma esfera de raio r com r>b.
    Para isso vamos usar a fórmula da divergência em coordenadas esféricas para um campo puramente radial:
\nabla\cdot\bigl(E_{r}\,\mathbf{a}_{r}\bigr) =\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\bigl(r^{2}E_{r}\bigr).

Passo 2

Região 1 ( r\le a):
E_{r1}=\frac{r\,\rho_{0}}{3\epsilon_{0}}.
Calculemos
r^{2}E_{r1} =\frac{r^{3}\,\rho_{0}}{3\epsilon_{0}}, \qquad \frac{d}{dr}\bigl(r^{2}E_{r1}\bigr) =\frac{3r^{2}\rho_{0}}{3\epsilon_{0}} =\frac{r^{2}\rho_{0}}{\epsilon_{0}}.
Logo
\nabla\cdot\mathbf{E}_{1} =\frac{1}{r^{2}}\frac{r^{2}\rho_{0}}{\epsilon_{0}} =\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}},
e
\rho_{v1} =\epsilon_{0}\,\nabla\cdot\mathbf{E}_{1} =\rho_{0}.

Passo 3

Região 2 ( a\le r\le b):
E_{r2}=\frac{(2a^{3}-r^{3})\,\rho_{0}}{3\epsilon_{0}\,r^{2}}.
Temos
r^{2}E_{r2} =\frac{(2a^{3}-r^{3})\,\rho_{0}}{3\epsilon_{0}}, \qquad \frac{d}{dr}\bigl(r^{2}E_{r2}\bigr) =-\frac{3r^{2}\rho_{0}}{3\epsilon_{0}} =-\frac{r^{2}\rho_{0}}{\epsilon_{0}}.
Logo
\nabla\cdot\mathbf{E}_{2} =\frac{1}{r^{2}}\Bigl(-\frac{r^{2}\rho_{0}}{\epsilon_{0}}\Bigr) =-\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}},
e
\rho_{v2} =\epsilon_{0}\,\nabla\cdot\mathbf{E}_{2} =-\rho_{0}.

Passo 4

Região 3 ( r\ge b):
E_{r3}=\frac{(2a^{3}-b^{3})\,\rho_{0}}{3\epsilon_{0}\,r^{2}}.
Aqui
r^{2}E_{r3} =\frac{(2a^{3}-b^{3})\,\rho_{0}}{3\epsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dr}\bigl(r^{2}E_{r3}\bigr)=0,
então
\nabla\cdot\mathbf{E}_{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad \rho_{v3}=0.

Passo 5

Para r>b, a carga total Q dentro da esfera de raio r é a integral de \rho_{v} sobre o volume até b (para além de b, \rho_v=0):
Q =\int_{0}^{a}\rho_{0}\,4\pi r'^{2}dr' +\int_{a}^{b}(-\rho_{0})\,4\pi r'^{2}dr'.
Calculemos:
\int_{0}^{a}4\pi\rho_{0}\,r'^{2}dr' = \frac{4\pi\rho_{0}a^{3}}{3}, \qquad \int_{a}^{b}4\pi(-\rho_{0})\,r'^{2}dr' =-\frac{4\pi\rho_{0}(b^{3}-a^{3})}{3}.
Somando,
Q =\frac{4\pi\rho_{0}}{3}\bigl[a^{3}-(b^{3}-a^{3})\bigr] =\frac{4\pi\rho_{0}}{3}\bigl(2a^{3}-b^{3}\bigr).

Resposta

A densidade volumétrica de carga é
\rho_{v}(r)= \begin{cases} \rho_{0},&r<a,\\\\ -\rho_{0},&a<r<b,\\\\ 0,&r>b. \end{cases}
A carga total para r>b é
Q=\frac{4\pi\rho_{0}}{3}\bigl(2a^{3}-b^{3}\bigr).

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