(Ex 3.20) Uma distribuição radial de campo elétrico, no espaço livre, é dada, em coordenadas esféricas, por:
\begin{aligned}
& \mathbf{E}_{1}=\frac{r \rho_{0}}{3 \epsilon_{0}} \mathbf{a}_{r} \quad(r \leq a) \\\ & \mathbf{E}_{2}=\frac{\left(2 a^{3}-r^{3}\right) \rho_{0}}{3 \epsilon_{0} r^{2}} \mathbf{a}_{r} \quad(a \leq r \leq b) \\\ & \mathbf{E}_{3}=\frac{\left(2 a^{3}-b^{3}\right) \rho_{0}}{3 \epsilon_{0} r^{2}} \mathbf{a}_{r} \quad(r \geq b)
\end{aligned}
onde \rho_{0}, a e b são constantes. (a) Determine a densidade volumétrica de carga na região inteira ( 0 \r
abla \r=\rho_{v}\(. (b) Utilizando os parâmetros fornecidos, encontre a carga total, Q , no interior de uma esfera de raio\)r\(, onde\)r>b.
Passo 1
O enunciado dá um campo elétrico radial, em coordenadas esféricas, definido por três expressões em r e pede duas coisas:
A densidade volumétrica de carga \rho_{v}(r) em toda a região usando
A carga total Q dentro de uma esfera de raio r com r>b.
Para isso vamos usar a fórmula da divergência em coordenadas esféricas para um campo puramente radial: