(Ex 3.6) No espaço livre, uma carga volumétrica de densidade constante \rho_{\mathrm{v}}=\rho_{0} existe na região -\infty<x<\infty,-\infty<y<\infty e -d / 2<z<d / 2. Encontre \mathbf{D} e \mathbf{E} em todos os pontos.

Passo 1

O enunciado descreve um slab (chapéu) infinito nas direções x e y e de espessura d no eixo z, com densidade volumétrica de carga livre constante \rho_v=\rho_0 para -d/2<z<d/2 e zero fora. O objetivo é encontrar os campos de deslocamento elétrico \mathbf{D} e de intensidade de campo \mathbf{E} em todo o espaço. Vamos usar simetria de um plano infinito e a lei de Gauss para \mathbf{D}, e depois a relação \mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E} no vácuo.

Passo 2

Pela simetria de um plano infinito carregado, \mathbf{D} só pode ter componente ao longo de \mathbf{\hat z} e depende apenas de z. Em forma diferencial, a lei de Gauss para o deslocamento é
\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_v.
Como \mathbf{D}=D_z(z)\,\mathbf{\hat z}, temos
\frac{dD_z}{dz}=\rho_v(z).

Passo 3

Na região interna ao slab ( |z|\le d/2), \rho_v(z)=\rho_0. Integramos
\frac{dD_z}{dz}=\rho_0 \quad\Longrightarrow\quad D_z(z)=\rho_0\,z + C.
Como o slab é simétrico em z=0, o campo no plano médio deve ser nulo: D_z(0)=0. Logo C=0 e
\text{para }|z|\le\frac d2:\quad \mathbf{D}(z)=\rho_0\,z\,\mathbf{\hat z}.

Passo 4

Fora do slab ( |z|>d/2), não há carga volumétrica, então dD_z/dz=0 e D_z é constante em cada região. Para determinar essa constante, impomos continuidade da componente normal de \mathbf{D} em z=\pm d/2. Em z=d/2 interno temos D_z(d/2^-)=\rho_0(d/2), logo em z=d/2^+
D_z = \rho_0\,\frac d2.
Por simetria, em z< -d/2
D_z = -\,\rho_0\,\frac d2.
Portanto
\mathbf{D}(z)= \begin{cases} \rho_0\,z\,\mathbf{\hat z},&|z|\le d/2,\\\ \rho_0\,\dfrac d2\,\mathbf{\hat z},&z> d/2,\\\\ -\,\rho_0\,\dfrac d2\,\mathbf{\hat z},&z< -\,d/2. \end{cases}

Passo 5

Em espaço livre vale \mathbf{D}=\varepsilon_0\,\mathbf{E}. Logo
\mathbf{E}(z)=\frac{\mathbf{D}(z)}{\varepsilon_0}
e obtemos diretamente
\mathbf{E}(z)= \begin{cases} \dfrac{\rho_0}{\varepsilon_0}\,z\,\mathbf{\hat z},&|z|\le d/2,\\[1em] \dfrac{\rho_0}{\varepsilon_0}\,\dfrac d2\,\mathbf{\hat z},&z> d/2,\\[0.8em] -\,\dfrac{\rho_0}{\varepsilon_0}\,\dfrac d2\,\mathbf{\hat z},&z< -\,d/2. \end{cases}]

Resposta

\mathbf{D}(z)= \begin{cases} \rho_0\,z\,\mathbf{\hat z},&|z|\le \tfrac d2,\\\ \rho_0\,\tfrac d2\,\mathbf{\hat z},&z> \tfrac d2,\\\\ -\,\rho_0\,\tfrac d2\,\mathbf{\hat z},&z< -\tfrac d2, \end{cases}
\mathbf{E}(z)= \begin{cases} \dfrac{\rho_0}{\varepsilon_0}\,z\,\mathbf{\hat z},&|z|\le \tfrac d2,\\\ \dfrac{\rho_0}{\varepsilon_0}\,\tfrac d2\,\mathbf{\hat z},&z> \tfrac d2,\\\\ -\,\dfrac{\rho_0}{\varepsilon_0}\,\tfrac d2\,\mathbf{\hat z},&z< -\tfrac d2. \end{cases}

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