(Ex 3.14) Um determinado diodo emissor de luz (LED) está centrado na origem com sua superfície no plano xy. Em grandes distâncias, o LED pode ser aproximado por um ponto, mas a geometria superficial brilhante produz um padrão de radiação de campo distante que segue uma lei cossenoidal: ou seja, a densidade de potência (fluxo) ótica em watts / \mathrm{m}^{2} ( \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} ) é dada, em coordenadas esféricas, por
\mathbf{P}_{d}=P_{0} \frac{\cos ^{2} \theta}{2 \pi r^{2}} \mathbf{a}_{r} \quad \text { watts } / \mathrm{m}^{2}
onde \theta é o ângulo medido em relação à direção normal à superfície do LED (neste caso, o eixo z) e r é a distância radial da origem ao ponto no qual a potência é detectada. (a) Utilizando P0, encontre a potência total, em watts (W), emitida pelo LED no semi-espaço superior; (b) Encontre o ângulo do cone \theta_{1} no interior do qual metade da potência total é irradiada, ou seja, no interior da faixa 0<\theta<\theta_{1}; (c) Um detector ótico, de 1 \mathrm{~mm}^{2} de área de seção transversal, está posicionado em \mathrm{r}=1 \mathrm{~m} e em \theta=45^{\circ} de tal forma que cobre o LED. Se 1 nW (nano watt) é medido pelo detector, qual é o valor de P_{0} (em uma estimativa muito boa)?

Passo 1

O enunciado define a densidade de potência ótica no semi-espaço superior de um LED como
\mathbf{P}_{d} = P_{0}\,\frac{\cos^{2}\theta}{2\pi\,r^{2}}\,\mathbf{a}_{r},
onde \theta é o ângulo em relação ao eixo z e r a distância radial. Precisamos calcular:
– a potência total emitida no semi-espaço superior;
– o ângulo de cone \theta_{1} que concentra metade dessa potência;
– o valor de P_{0} sabendo que um detector de área 1\text{ mm}^{2} mede 1\text{ nW} em \theta=45^\circ e r=1\text{ m}.

Passo 2

Para obter a potência total P_{\rm tot} integremos a densidade sobre a superfície de uma esfera de raio r, com \theta de 0 a \pi/2 e \varphi de 0 a 2\pi. Em coordenadas esféricas o elemento de área é r^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi. Logo,
P_{\rm tot} =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2} P_{0}\,\frac{\cos^{2}\theta}{2\pi\,r^{2}}\;r^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.

Passo 3

Primeiro integramos em \varphi, obtendo um fator 2\pi, que cancela o 2\pi do denominador. Depois usamos u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta:
P_{\rm tot} = P_{0}\!\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\sin\theta\,d\theta = P_{0}\biggl[-\frac{u^{3}}{3}\biggr]_{u=\!1}^{u=\!0} = P_{0}\,\frac{1}{3}.

Passo 4

A potência irradiada no cone \theta\in[0,\theta_{1}] é
P(\theta<\theta_{1}) = P_{0}\!\int_{0}^{\theta_{1}}\cos^{2}\theta\sin\theta\,d\theta = P_{0}\,\frac{1 - \cos^{3}\theta_{1}}{3}.
Pedem metade de P_{\rm tot} = P_{0}/3, ou seja
P_{0}\,\frac{1 - \cos^{3}\theta_{1}}{3} = \frac{1}{2}\,\frac{P_{0}}{3} \;\Longrightarrow\; 1 - \cos^{3}\theta_{1} = \tfrac12 \;\Longrightarrow\; \cos^{3}\theta_{1} = \tfrac12 \;\Longrightarrow\; \theta_{1} = \operatorname{arccos}\bigl(2^{-\!1/3}\bigr).

Passo 5

No detector, a potência medida é P_{\rm det}=P_{d}\times A com A=1\text{ mm}^2=10^{-6}\text{ m}^2, r=1\text{ m} e \theta=45^\circ. Logo
1\times10^{-9} = P_{0}\,\frac{\cos^{2}45^\circ}{2\pi\,(1)^{2}}\;10^{-6} = P_{0}\,\frac{\tfrac12}{2\pi}\;10^{-6} = P_{0}\,\frac{1}{4\pi}\,10^{-6}.
Isolando P_{0}:
P_{0} = 1\times10^{-9}\;\frac{4\pi}{10^{-6}} =4\pi\times10^{-3}\approx0{,}0126\text{ W}.

Resposta

a) \displaystyle P_{\rm tot}=\frac{P_{0}}{3}.
b) \displaystyle \theta_{1}=\operatorname{arccos}\bigl(2^{-\!1/3}\bigr)\approx37{,}8^\circ.
c) \displaystyle P_{0}\approx4\pi\times10^{-3}\text{ W}\approx0{,}0126\text{ W}.

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