(Ex 3.14) Um determinado diodo emissor de luz (LED) está centrado na origem com sua superfície no plano xy. Em grandes distâncias, o LED pode ser aproximado por um ponto, mas a geometria superficial brilhante produz um padrão de radiação de campo distante que segue uma lei cossenoidal: ou seja, a densidade de potência (fluxo) ótica em watts
(
) é dada, em coordenadas esféricas, por
onde
é o ângulo medido em relação à direção normal à superfície do LED (neste caso, o eixo z) e r é a distância radial da origem ao ponto no qual a potência é detectada. (a) Utilizando P0, encontre a potência total, em watts (W), emitida pelo LED no semi-espaço superior; (b) Encontre o ângulo do cone
no interior do qual metade da potência total é irradiada, ou seja, no interior da faixa
; (c) Um detector ótico, de
de área de seção transversal, está posicionado em
e em
de tal forma que cobre o LED. Se 1 nW (nano watt) é medido pelo detector, qual é o valor de
(em uma estimativa muito boa)?
Passo 1
O enunciado define a densidade de potência ótica no semi-espaço superior de um LED como
onde
é o ângulo em relação ao eixo
e
a distância radial. Precisamos calcular:
– a potência total emitida no semi-espaço superior;
– o ângulo de cone que concentra metade dessa potência;
– o valor de sabendo que um detector de área
mede
em
e
.
– a potência total emitida no semi-espaço superior;
– o ângulo de cone
– o valor de
Passo 2
Para obter a potência total
integremos a densidade sobre a superfície de uma esfera de raio
, com
de
a
e
de
a
. Em coordenadas esféricas o elemento de área é
. Logo,
Passo 3
Primeiro integramos em
, obtendo um fator
, que cancela o
do denominador. Depois usamos
,
:
Passo 4
A potência irradiada no cone
é
Pedem metade de
, ou seja
Passo 5
No detector, a potência medida é
com
,
e
. Logo
Isolando
:
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)