12{ }^{\text {a }} Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou pequena adaptação da regra da cadeia:
7) \int \operatorname{sec} x(3 \operatorname{sec} x-\operatorname{tg} x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{sec} x\,(3\operatorname{sec} x - \tan x)\,dx
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas elementares, usando a propriedade de linearidade e as fórmulas conhecidas
\frac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^2 x e \frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)=\operatorname{sec} x\tan x.

Passo 2

Distribuímos o produto dentro da integral para separar em duas partes:
\operatorname{sec} x\,(3\operatorname{sec} x - \tan x) =3\operatorname{sec}^2 x \;-\;\operatorname{sec} x\,\tan x.
Logo,
\int \operatorname{sec} x\,(3\operatorname{sec} x - \tan x)\,dx =\int 3\operatorname{sec}^2 x\,dx \;-\;\int \operatorname{sec} x\,\tan x\,dx.

Passo 3

Usamos as primitivas conhecidas:
\int \operatorname{sec}^2 x\,dx=\tan x, \qquad \int \operatorname{sec} x\,\tan x\,dx=\operatorname{sec} x.
Portanto,
\int 3\operatorname{sec}^2 x\,dx =3\int \operatorname{sec}^2 x\,dx =3\tan x,
\int \operatorname{sec} x\,\tan x\,dx =\operatorname{sec} x.

Passo 4

Subtraindo as duas partes, obtemos
\int \operatorname{sec} x\,(3\operatorname{sec} x - \tan x)\,dx =3\tan x - \operatorname{sec} x + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

3\tan x - \operatorname{sec} x + C

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