12{ }^{\text {a }} Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou pequena adaptação da regra da cadeia:
8) \int \frac{x}{x+5} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x}{x+5}\,dx
usando integrais elementares e uma pequena adaptação da regra da cadeia para logaritmos. Vamos decompor o integrando em termos mais simples antes de integrar.

Passo 2

Note que
\frac{x}{x+5} = \frac{(x+5)-5}{x+5} = 1 - \frac{5}{x+5}.
Essa decomposição transforma a integral original numa soma de duas integrais mais simples.

Passo 3

Agora integramos termo a termo. Temos
\int \frac{x}{x+5}\,dx = \int 1\,dx \;-\; 5\int \frac{1}{x+5}\,dx.
Sabemos que
\int 1\,dx = x \quad\text{e}\quad \int \frac{1}{x+5}\,dx = \ln\bigl|x+5\bigr|.
Portanto,
\int \frac{x}{x+5}\,dx = x \;-\; 5\,\ln\bigl|x+5\bigr| + C.

Resposta

\boxed{x - 5\,\ln\bigl|x+5\bigr| + C}

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