12{ }^{\text {a }} Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou pequena adaptação da regra da cadeia:
9) \int \frac{1}{4+4 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{1}{4+4x^{2}}\,dx
O conteúdo envolve integração de funções da forma \int 1/(a^{2}+u^{2})\,du, cujo resultado é \tfrac{1}{a}\arctan(u/a)+C. Vamos usar fatoração e a regra da cadeia de forma simples.

Passo 2

Observe que podemos fatorar o denominador:
4 + 4x^{2} = 4\bigl(1 + x^{2}\bigr).
Logo,
\int \frac{1}{4+4x^{2}}\,dx = \int \frac{1}{4\,(1+x^{2})}\,dx = \frac{1}{4}\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 3

Sabemos que
\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \arctan(x) + C.
Portanto,
\frac{1}{4}\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{4}\,\arctan(x) + C.

Resposta

\int \frac{1}{4+4x^{2}}\,dx = \frac{1}{4}\,\arctan(x) + C.

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