Exercícios de Gráfico de função
1{ }^{\text {a }} Dadas as funções f(x) abaixo esboce o gráfico de y=f(x), estudando seu crescimento e sua concavidade. Indique os pontos críticos e de inflexão, estude o comportamento no infinito e encontre todas as assíntotas. Além disso, classifique os pontos críticos, se são máximo local ou mínimo local, ou, analisando o gráfico, se são também máximo absoluto ou mínimo absoluto.
d) f(x)=x e^{1 / x}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de
f(x)=x\,e^{1/x},
estudando domínio, crescimento (monotonicidade), concavidade, pontos críticos e de inflexão, comportamento nos extremos e todas as assíntotas.

Passo 2

Domínio: x\neq0, ou seja (-\infty,0)\cup(0,\infty).
Calculamos a primeira derivada por produto e cadeia:
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(x\,e^{1/x}\bigr) =e^{1/x}+x\,e^{1/x}\,\bigl(-\tfrac1{x^2}\bigr) =e^{1/x}\bigl(1-\tfrac1{x}\bigr) =e^{1/x}\,\frac{x-1}{x}.
Zeramos f': como e^{1/x}>0, vem x-1=0, isto é o ponto crítico x=1.
Analisando o sinal de f':
  • Em (-\infty,0): x<0 e x-1<0 \Rightarrow (x-1)/x>0 \Rightarrow f'>0.
  • Em (0,1): x>0 e x-1<0 \Rightarrow (x-1)/x<0 \Rightarrow f'<0.
  • Em (1,\infty): x>0 e x-1>0 \Rightarrow (x-1)/x>0 \Rightarrow f'>0.
    Logo, f cresce em (-\infty,0), decresce em (0,1) e cresce em (1,\infty).

Passo 3

Para a concavidade, calculamos
f''(x) =\frac{d}{dx}\Bigl[e^{1/x}\bigl(1-\tfrac1{x}\bigr)\Bigr] =e^{1/x}\bigl(-\tfrac1{x^2}\bigr)\bigl(1-\tfrac1{x}\bigr) +e^{1/x}\,\tfrac1{x^2} =\frac{e^{1/x}}{x^3}.
Como e^{1/x}>0, o sinal de f'' é o sinal de 1/x^3:
  • f''<0 em (-\infty,0) \Rightarrow concavidade para baixo.
  • f''>0 em (0,\infty) \Rightarrow concavidade para cima.
    Não há ponto de inflexão em domínio (a mudança de concavidade ocorre em x=0, que não pertence ao domínio).

Passo 4

Limites e assíntotas:
  • Em x\to0^+: 1/x\to+\infty \Rightarrow e^{1/x}\to+\infty e x\to0, mas o exponencial domina, logo
    \displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty.
  • Em x\to0^-: 1/x\to-\infty \Rightarrow e^{1/x}\to0 e x\to0^-, e o exponencial vence, logo
    \displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=0.
    Portanto x=0 é assíntota vertical.
Para x\to\pm\infty, escrevemos
e^{1/x}=1+\tfrac1{x}+\mathcal O\bigl(\tfrac1{x^2}\bigr), \quad f(x)=x\,e^{1/x}=x+1+\mathcal O\bigl(\tfrac1{x}\bigr).
Logo há assíntota oblíqua comum em ambos os lados,
y=x+1.

Passo 5

Classificação do ponto crítico em x=1:
  • Em (0,1), f'<0 e em (1,\infty), f'>0.
    Logo f decresce antes de 1 e cresce depois de 1: trata-se de mínimo local.
    Além disso, f(1)=1\cdot e^{1}=e é, de fato, o menor valor de f em todo o domínio, pois nos extremos f\to+\infty e em (-\infty,0) f não atinge valores abaixo de zero. É mínimo absoluto.
Não há máximo local em domínio.

Passo 6

Resumo das características para o esboço:
  • Domínio: (-\infty,0)\cup(0,\infty).
  • Monotonicidade: cresce em (-\infty,0), decresce em (0,1), cresce em (1,\infty).
  • Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,0), côncava para cima em (0,\infty).
  • Ponto crítico: (1,e) mínimo local e absoluto.
  • Assíntotas: vertical em x=0; oblíqua y=x+1.

Resposta

Pontos críticos:
(1,e), mínimo local e absoluto.
Assíntotas:
x=0 (vertical),
y=x+1 (oblíqua).
Concavidade:
côncava para baixo em (-\infty,0), côncava para cima em (0,\infty).
Monotonicidade:
crescente em (-\infty,0), decrescente em (0,1), crescente em (1,\infty).

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