Exercícios de Gráfico de função
Dadas as funções
abaixo esboce o gráfico de
, estudando seu crescimento e sua concavidade. Indique os pontos críticos e de inflexão, estude o comportamento no infinito e encontre todas as assíntotas. Além disso, classifique os pontos críticos, se são máximo local ou mínimo local, ou, analisando o gráfico, se são também máximo absoluto ou mínimo absoluto.
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de
estudando domínio, crescimento (monotonicidade), concavidade, pontos críticos e de inflexão, comportamento nos extremos e todas as assíntotas.
Passo 2
Domínio:
, ou seja
.
Calculamos a primeira derivada por produto e cadeia:
Calculamos a primeira derivada por produto e cadeia:
Zeramos
: como
, vem
, isto é o ponto crítico
.
Analisando o sinal de :
Analisando o sinal de
- Em
: e . - Em
: e . - Em
: e .
Logo,cresce em , decresce em e cresce em .
Passo 3
Para a concavidade, calculamos
Como
, o sinal de
é o sinal de
:
-
em concavidade para baixo. -
em concavidade para cima.
Não há ponto de inflexão em domínio (a mudança de concavidade ocorre em, que não pertence ao domínio).
Passo 4
Limites e assíntotas:
- Em
: e , mas o exponencial domina, logo
. - Em
: e , e o exponencial vence, logo
.
Portantoé assíntota vertical.
Para
, escrevemos
Logo há assíntota oblíqua comum em ambos os lados,
Passo 5
Classificação do ponto crítico em
:
- Em
, e em , .
Logodecresce antes de e cresce depois de : trata-se de mínimo local.
Além disso,é, de fato, o menor valor de em todo o domínio, pois nos extremos e em não atinge valores abaixo de zero. É mínimo absoluto.
Não há máximo local em domínio.
Passo 6
Resumo das características para o esboço:
- Domínio:
. - Monotonicidade: cresce em
, decresce em , cresce em . - Concavidade: côncava para baixo em
, côncava para cima em . - Ponto crítico:
mínimo local e absoluto. - Assíntotas: vertical em
; oblíqua .
Resposta
Pontos críticos:
, mínimo local e absoluto.
Assíntotas:
(vertical),
(oblíqua).
Concavidade:
côncava para baixo em , côncava para cima em
.
côncava para baixo em
Monotonicidade:
crescente em , decrescente em
, crescente em
.
crescente em