Exercícios de Gráfico de função
Dadas as funções
abaixo esboce o gráfico de
, estudando seu crescimento e sua concavidade. Indique os pontos críticos e de inflexão, estude o comportamento no infinito e encontre todas as assíntotas. Além disso, classifique os pontos críticos, se são máximo local ou mínimo local, ou, analisando o gráfico, se são também máximo absoluto ou mínimo absoluto.
i)
i)
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico de
estudando domínio, monotonicidade, concavidade, pontos críticos e de inflexão, comportamento em
e assíntotas, e classificando máximos e mínimos.
Passo 2
Domínio e continuidade
Como está definido para todo
, o domínio de
é
Como
Além disso,
é contínua em todo
, mas a derivada será infinita em
.
Passo 3
Derivada primeira e pontos críticos
Usando a regra do produto,
Usando a regra do produto,
que se simplifica a
Os pontos críticos vêm de
ou de
não existir:
.
;
;
;
;
.
.
não existe em
.
Passo 4
Monotonicidade e classificação de extremos
Analisando o sinal de
Analisando o sinal de
- Para
, e . - Para
, e . - Para
, e .
Logo:
Em
há mudança de decrescente para crescente, logo mínimo local em
.
Em há mudança de crescente para decrescente, logo máximo local em
.
Como e
, são também mínimos e máximos absolutos no respectivo lado do domínio.
Em
Como
Passo 5
Derivada segunda, concavidade e ponto de inflexão
Calcula-se
Calcula-se
O denominador é sempre positivo para
. Assim,
Portanto
é côncava para cima em
e côncava para baixo em
. Há ponto de inflexão em
, com
Passo 6
Comportamento em
e assíntotas
Para ,
Para
Para
,
Não existem assíntotas horizontais nem oblíquas, pois o módulo de
cresce mais rápido que linear. Não há assíntota vertical pois o domínio é todo
.
Resposta
Domínio:
.
Pontos críticos:
mínimo local (e absoluto à esquerda/depois),
máximo local (e absoluto no lado).
Ponto de inflexão: .
Monotonicidade: decresce em , cresce em
, decresce em
.
Concavidade: côncava para cima em , côncava para baixo em
.
Comportamento em :
; em
:
.
Assíntotas: nenhuma.
Pontos críticos:
Ponto de inflexão:
Monotonicidade: decresce em
Concavidade: côncava para cima em
Comportamento em
Assíntotas: nenhuma.