Exercícios de Gráfico de função
1{ }^{\text {a }} Dadas as funções f(x) abaixo esboce o gráfico de y=f(x), estudando seu crescimento e sua concavidade. Indique os pontos críticos e de inflexão, estude o comportamento no infinito e encontre todas as assíntotas. Além disso, classifique os pontos críticos, se são máximo local ou mínimo local, ou, analisando o gráfico, se são também máximo absoluto ou mínimo absoluto.
i) f(x)=x^{2 / 3}\left(\frac{5}{2}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x)=x^{2/3}\Bigl(\tfrac{5}{2}-x\Bigr),
estudando domínio, monotonicidade, concavidade, pontos críticos e de inflexão, comportamento em x\to\pm\infty e assíntotas, e classificando máximos e mínimos.

Passo 2

Domínio e continuidade
Como x^{2/3} está definido para todo x\in\mathbb{R}, o domínio de f é
\mathbb{R}.
Além disso, f é contínua em todo \mathbb{R}, mas a derivada será infinita em x=0.

Passo 3

Derivada primeira e pontos críticos
Usando a regra do produto,
f'(x) =\frac{2}{3}x^{-1/3}\Bigl(\tfrac{5}{2}-x\Bigr) + x^{2/3}(-1),
que se simplifica a
f'(x) =\frac{5}{3}\,\frac{1-x}{x^{1/3}}.
Os pontos críticos vêm de f'(x)=0 ou de f' não existir:
1. f'(x)=0; \Longrightarrow; 1-x=0; \Longrightarrow; x=1.
2. f' não existe em x=0.

Passo 4

Monotonicidade e classificação de extremos
Analisando o sinal de
f'(x)=\frac{5}{3}\,\frac{1-x}{x^{1/3}}:
  • Para x<0, x^{1/3}<0 e 1-x>0 \,\Rightarrow f'(x)<0.
  • Para 0<x<1, x^{1/3}>0 e 1-x>0 \,\Rightarrow f'(x)>0.
  • Para x>1, x^{1/3}>0 e 1-x<0 \,\Rightarrow f'(x)<0.
Logo:
f\text{ decresce em }(-\infty,0),\quad f\text{ cresce em }(0,1),\quad f\text{ decresce em }(1,\infty).
Em x=0 há mudança de decrescente para crescente, logo mínimo local em (0,0).
Em x=1 há mudança de crescente para decrescente, logo máximo local em \bigl(1,\tfrac32\bigr).
Como f(0)=0 e f(1)=3/2, são também mínimos e máximos absolutos no respectivo lado do domínio.

Passo 5

Derivada segunda, concavidade e ponto de inflexão
Calcula-se
f''(x) =-\frac{5\,(2x+1)}{9\,x^{4/3}}.
O denominador é sempre positivo para x\neq0. Assim,
f''(x)>0\iff2x+1<0\iff x<-\tfrac12,
f''(x)<0\iff x>-\tfrac12.
Portanto f é côncava para cima em (-\infty,-\tfrac12) e côncava para baixo em (-\tfrac12,0)\cup(0,\infty). Há ponto de inflexão em x=-\tfrac12, com
f\Bigl(-\tfrac12\Bigr) =(\tfrac12)^{2/3}\cdot3 =3\cdot2^{-2/3}.

Passo 6

Comportamento em \pm\infty e assíntotas
Para x\to+\infty,
f(x)\sim x^{2/3}(-x)=-x^{5/3}\to-\infty.
Para x\to-\infty,
f(x)\sim x^{2/3}(-x)\to+\infty.
Não existem assíntotas horizontais nem oblíquas, pois o módulo de f(x) cresce mais rápido que linear. Não há assíntota vertical pois o domínio é todo \mathbb{R}.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.
Pontos críticos:
(0,0) mínimo local (e absoluto à esquerda/depois),
\bigl(1,\tfrac32\bigr) máximo local (e absoluto no lado).
Ponto de inflexão: \bigl(-\tfrac12,\,3\cdot2^{-2/3}\bigr).
Monotonicidade: decresce em (-\infty,0), cresce em (0,1), decresce em (1,\infty).
Concavidade: côncava para cima em (-\infty,-\tfrac12), côncava para baixo em (-\tfrac12,0)\cup(0,\infty).
Comportamento em \infty: f(x)\to-\infty; em -\infty: f(x)\to+\infty.
Assíntotas: nenhuma.

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