12{ }^{\text {a }} Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou pequena adaptação da regra da cadeia:
2) \int \frac{y^{2}-3 y}{y^{3}} d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{y^{2}-3y}{y^{3}}\,dy,
usando integrais elementares. O conteúdo principal aqui é a simplificação por propriedades de potências e depois aplicação da regra de potência (ou regra da cadeia em caso geral).

Passo 2

Primeiro usamos a propriedade de divisão de potências para reescrever o integrando como soma de potências de y:
\frac{y^{2}-3y}{y^{3}} = \frac{y^{2}}{y^{3}} - \frac{3y}{y^{3}} = y^{-1} - 3\,y^{-2}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo, lembrando que
\int y^{-1}\,dy = \ln\bigl|y\bigr| \quad\text{e}\quad \int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1}\quad(n\neq -1).
Portanto,
\int\bigl(y^{-1} - 3\,y^{-2}\bigr)\,dy = \int y^{-1}\,dy \;-\;3\int y^{-2}\,dy = \ln\bigl|y\bigr| \;-\;3\cdot\frac{y^{-1}}{-1}.

Passo 4

Simplificando o segundo termo:
-3\cdot\frac{y^{-1}}{-1} = 3\,y^{-1} = \frac{3}{y}.
Logo a primitiva geral é
\ln\bigl|y\bigr| + \frac{3}{y} + C.

Resposta

\ln\bigl|y\bigr| + \frac{3}{y} + C.

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