12{ }^{\text {a }} Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou pequena adaptação da regra da cadeia:
3) \int \frac{5 x-3}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{5x - 3}{\sqrt{x}}\,dx
O conteúdo principal aqui é o uso de integrais de potências e a propriedade da linearidade (podemos separar soma e fatorar constantes).

Passo 2

Vamos reescrever o integrando em potências de x:
\frac{5x - 3}{\sqrt{x}} =5\,\frac{x}{x^{1/2}} - 3\,\frac{1}{x^{1/2}} =5\,x^{1/2} - 3\,x^{-1/2}.

Passo 3

Integramos termo a termo, lembrando que
\displaystyle\int x^{p}\,dx = \frac{x^{p+1}}{p+1} (para p\neq -1).
Para o primeiro termo:
\int 5\,x^{1/2}\,dx =5\cdot\frac{x^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} =5\cdot\frac{2}{3}\,x^{3/2} =\frac{10}{3}\,x^{3/2}.
Para o segundo termo:
\int (-3)\,x^{-1/2}\,dx =-3\cdot\frac{x^{1/2}}{\tfrac{1}{2}} =-3\cdot 2\,x^{1/2} =-6\,x^{1/2}.

Passo 4

Somando os resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos
\int \frac{5x - 3}{\sqrt{x}}\,dx =\frac{10}{3}\,x^{3/2} - 6\,x^{1/2} + C.

Resposta

\frac{10}{3}\,x^{3/2} - 6\,x^{1/2} + C.

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