12{ }^{\text {a }} Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou pequena adaptação da regra da cadeia:
5) \int \frac{5 x-2+\sqrt{x}}{x^{3 / 2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{5x - 2 + \sqrt{x}}{x^{3/2}}\,dx
Isso envolve manipular potências de x e usar a regra de potência
\int x^{p}\,dx = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C,\quad p\neq -1,
além de tratar separadamente o caso p=-1 que gera \ln|x|.

Passo 2

Vamos escrever cada termo com expoentes de x:
\frac{5x}{x^{3/2}} = 5\,x^{-1/2},\quad \frac{-2}{x^{3/2}} = -2\,x^{-3/2},\quad \frac{\sqrt{x}}{x^{3/2}} = x^{1/2-3/2} = x^{-1}.
Logo a integral vira
\int\!\bigl(5x^{-1/2} - 2x^{-3/2} + x^{-1}\bigr)\,dx.

Passo 3

Integramos termo a termo:
  1. \displaystyle\int 5x^{-1/2}\,dx = 5\cdot\frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} =5\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2}=10\,x^{1/2}.
  2. \displaystyle\int -2x^{-3/2}\,dx = -2\cdot\frac{x^{-3/2+1}}{-3/2+1} =-2\cdot\frac{x^{-1/2}}{-1/2}=4\,x^{-1/2}.
  3. \displaystyle\int x^{-1}\,dx = \ln\lvert x\rvert.

Passo 4

Somando os resultados e colocando a constante de integração C, obtemos
10\,x^{1/2} \;+\; 4\,x^{-1/2} \;+\;\ln\lvert x\rvert \;+\; C.

Resposta

10\sqrt{x} \;+\;\frac{4}{\sqrt{x}} \;+\;\ln\lvert x\rvert \;+\; C.

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