12{ }^{\text {a }} Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou pequena adaptação da regra da cadeia:
6) \int\left(x+x^{3}\right) \sqrt{x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int\bigl(x + x^{3}\bigr)\sqrt{x}\,dx
O conteúdo é integração de funções potência. Vamos usar a propriedade \sqrt{x}=x^{1/2}, a distributividade da integral e a regra de potência
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.

Passo 2

Reescrevemos o integrando como soma de potências:
\bigl(x + x^{3}\bigr)\sqrt{x} = x\cdot x^{1/2} + x^{3}\cdot x^{1/2} = x^{3/2} + x^{7/2}.

Passo 3

Separamos a integral e aplicamos a regra de potência a cada termo:
\int x^{3/2}\,dx = \frac{x^{3/2+1}}{3/2+1} = \frac{x^{5/2}}{5/2},
\int x^{7/2}\,dx = \frac{x^{7/2+1}}{7/2+1} = \frac{x^{9/2}}{9/2}.

Passo 4

Simplificamos os coeficientes 1/(5/2)=2/5 e 1/(9/2)=2/9 e somamos, obtendo
\int\bigl(x + x^{3}\bigr)\sqrt{x}\,dx = \frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{2}{9}x^{9/2} + C.

Resposta

\frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{2}{9}x^{9/2} + C

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