EXTRA: Questões com pontuação similares a da avaliação anterior:

i) (TOTAL 9 pontos) Dada a função: f(x)=\frac{4 x}{(x-3)^{2}} pede-se, com as contas que justificam:
Valores que podem ajudar ou ser necessários: \mathrm{f}(6) \approx 2,66 ; \mathrm{f}(-6) \approx-0,29
a) ( 0,5 ponto) o seu conjunto domínio.
b) ( 1,5 pontos) as retas horizontais ou verticais que são as assíntotas do gráfico da função y=f(x).
c) ( 1 ponto) os pontos críticos de f(x).
d) ( 1,5 pontos) os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente.
e) (1 ponto) que se estude a concavidade de f(x).
f) ( 0,5 ponto) seus pontos de inflexão.
g) ( 2,5 pontos) o esboço do gráfico de y=f(x), localizando TODOS os pontos e retas importantes.
h) ( 0,5 ponto) que classifique seus pontos críticos, se são máximo local ou mínimo local, ou, analisando o gráfico, se são também máximo absoluto ou mínimo absoluto.
ii) (5 pontos) Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou pequena adaptação da regra da cadeia:
a) \int \frac{3-2 x+\sqrt{x}}{x^{5 / 2}} d x

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{4x}{(x-3)^{2}}
e pede: domínio, assíntotas, pontos críticos, monotonicidade, concavidade, inflexão, esboço do gráfico e classificação dos extremos. Depois, há a integral
\int \frac{3-2x+\sqrt{x}}{x^{5/2}}\,dx.
Vamos analisar cada item em ordem.

Passo 2

Para achar o domínio, identificamos que o denominador não pode ser zero, ou seja, x-3\neq0. Logo o domínio é
(-\infty,3)\cup(3,\infty).
As assíntotas verticais ocorrem quando x\to3 e o valor de f(x)\to+\infty, portanto há a reta vertical
x=3.
Para x\to\pm\infty,
f(x)=\frac{4x}{(x-3)^2}\sim\frac{4x}{x^2}=\frac{4}{x}\to0,
logo há a assíntota horizontal
y=0.

Passo 3

Derivamos f para achar pontos críticos. Usando a regra do quociente ou produto resulta
f'(x)=-4\,\frac{x+3}{(x-3)^3}.
Igualando f'(x)=0 surge x+3=0, de onde
x=-3.
Esse é o único ponto crítico (além de x=3, que não pertence ao domínio).

Passo 4

Para monotonicidade, estudamos o sinal de
f'(x)=-4\,\frac{x+3}{(x-3)^3}.
– Em x<-3: x+3<0 e (x-3)^3<0, logo f'<0 (função decrescente).
– Em -3<x<3: x+3>0 e (x-3)^3<0, logo f'>0 (função crescente).
– Em x>3: x+3>0 e (x-3)^3>0, logo f'<0 (função decrescente).

Passo 5

Derivando de novo, obtemos
f''(x)=8\,\frac{x+6}{(x-3)^4}.
Como (x-3)^4>0 sempre (exceto em x=3), o sinal de f'' é o de x+6. Assim:
– Para x<-6: f''<0 (concavidade voltada para baixo).
– Para x>-6: f''>0 (concavidade voltada para cima).

Passo 6

O ponto de inflexão ocorre em x+6=0, ou seja, x=-6, com
f(-6)=\frac{4\cdot(-6)}{(-6-3)^2}=\frac{-24}{81}=-\frac{8}{27}.
Para o esboço do gráfico, anotamos:
– Assíntotas: x=3 e y=0.
– Ponto crítico e mínimo em (-3,-\tfrac13).
– Inflexão em \bigl(-6,-\tfrac{8}{27}\bigr).
– Comportamento nos extremos: f(x)\to0^- quando x\to-\infty e f(x)\to0^+ quando x\to+\infty.
– Para x\to3^\pm, f(x)\to+\infty.

Passo 7

Analisando f' em torno de x=-3: vinha decrescente para crescente, logo há um mínimo local em (-3,-\tfrac13). Como para x\to\pm\infty a função tende a 0 por cima (em +\infty) e por baixo (em -\infty), esse mínimo é também mínimo absoluto. Não há máximos locais nem globais.

Passo 8

Agora a integral
\int \frac{3-2x+\sqrt{x}}{x^{5/2}}\,dx.
Escrevemos termo a termo:
\frac{3}{x^{5/2}}-2\,\frac{x}{x^{5/2}}+\frac{\sqrt{x}}{x^{5/2}} =3x^{-5/2}-2x^{-3/2}+x^{-2}.
Integrando cada potência:
\int3x^{-5/2}dx =3\cdot\frac{x^{-3/2}}{-3/2} =-2x^{-3/2},
\int(-2x^{-3/2})dx =-2\cdot\frac{x^{-1/2}}{-1/2} =4x^{-1/2},
\int x^{-2}dx =\frac{x^{-1}}{-1} =-x^{-1}.
Somando e incluindo a constante C, obtemos a antiderivada desejada.

Resposta

a) Domínio: (-\infty,3)\cup(3,\infty).
b) Assíntotas: vertical x=3 e horizontal y=0.
c) Ponto crítico: x=-3.
d) Decrescente em (-\infty,-3) e em (3,\infty); crescente em (-3,3).
e) Concavidade para baixo em (-\infty,-6); para cima em (-6,3)\cup(3,\infty).
f) Ponto de inflexão: \bigl(-6,-\tfrac{8}{27}\bigr).
g) Gráfico com assíntotas x=3, y=0; mínimo em (-3,-\tfrac13); inflexão em (-6,-\tfrac{8}{27}); comportamento f\to0^- em -\infty, f\to0^+ em +\infty, e f\to+\infty ao aproximar 3.
h) O ponto x=-3 é mínimo local e também mínimo absoluto.
ii a)
\int \frac{3-2x+\sqrt{x}}{x^{5/2}}\,dx =-\frac{2}{x^{3/2}}+\frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x}+C.

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