EXTRA: Questões com pontuação similares a da avaliação anterior:
i) (TOTAL 9 pontos) Dada a função:
pede-se, com as contas que justificam:
Valores que podem ajudar ou ser necessários:
a) ( 0,5 ponto) o seu conjunto domínio.
b) ( 1,5 pontos) as retas horizontais ou verticais que são as assíntotas do gráfico da função
.
c) ( 1 ponto) os pontos críticos de
.
d) ( 1,5 pontos) os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente.
e) (1 ponto) que se estude a concavidade de
.
f) ( 0,5 ponto) seus pontos de inflexão.
g) ( 2,5 pontos) o esboço do gráfico de
, localizando TODOS os pontos e retas importantes.
h) ( 0,5 ponto) que classifique seus pontos críticos, se são máximo local ou mínimo local, ou, analisando o gráfico, se são também máximo absoluto ou mínimo absoluto.
ii) (5 pontos) Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou pequena adaptação da regra da cadeia:
a)
a) ( 0,5 ponto) o seu conjunto domínio.
b) ( 1,5 pontos) as retas horizontais ou verticais que são as assíntotas do gráfico da função
c) ( 1 ponto) os pontos críticos de
d) ( 1,5 pontos) os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente.
e) (1 ponto) que se estude a concavidade de
f) ( 0,5 ponto) seus pontos de inflexão.
g) ( 2,5 pontos) o esboço do gráfico de
h) ( 0,5 ponto) que classifique seus pontos críticos, se são máximo local ou mínimo local, ou, analisando o gráfico, se são também máximo absoluto ou mínimo absoluto.
ii) (5 pontos) Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou pequena adaptação da regra da cadeia:
a)
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede: domínio, assíntotas, pontos críticos, monotonicidade, concavidade, inflexão, esboço do gráfico e classificação dos extremos. Depois, há a integral
Vamos analisar cada item em ordem.
Passo 2
Para achar o domínio, identificamos que o denominador não pode ser zero, ou seja,
. Logo o domínio é
As assíntotas verticais ocorrem quando
e o valor de
, portanto há a reta vertical
Para
,
logo há a assíntota horizontal
Passo 3
Derivamos
para achar pontos críticos. Usando a regra do quociente ou produto resulta
Igualando
surge
, de onde
Esse é o único ponto crítico (além de
, que não pertence ao domínio).
Passo 4
Para monotonicidade, estudamos o sinal de
– Em
:
e
, logo
(função decrescente).
– Em :
e
, logo
(função crescente).
– Em :
e
, logo
(função decrescente).
– Em
– Em
Passo 5
Derivando de novo, obtemos
Como
sempre (exceto em
), o sinal de
é o de
. Assim:
– Para :
(concavidade voltada para baixo).
– Para :
(concavidade voltada para cima).
– Para
– Para
Passo 6
O ponto de inflexão ocorre em
, ou seja,
, com
Para o esboço do gráfico, anotamos:
– Assíntotas: e
.
– Ponto crítico e mínimo em .
– Inflexão em .
– Comportamento nos extremos: quando
e
quando
.
– Para ,
.
– Assíntotas:
– Ponto crítico e mínimo em
– Inflexão em
– Comportamento nos extremos:
– Para
Passo 7
Analisando
em torno de
: vinha decrescente para crescente, logo há um mínimo local em
. Como para
a função tende a
por cima (em
) e por baixo (em
), esse mínimo é também mínimo absoluto. Não há máximos locais nem globais.
Passo 8
Agora a integral
Escrevemos termo a termo:
Integrando cada potência:
Somando e incluindo a constante
, obtemos a antiderivada desejada.
Resposta
a) Domínio:
b) Assíntotas: vertical e horizontal
.
c) Ponto crítico: .
d) Decrescente em e em
; crescente em
.
e) Concavidade para baixo em ; para cima em
.
f) Ponto de inflexão: .
g) Gráfico com assíntotas ,
; mínimo em
; inflexão em
; comportamento
em
,
em
, e
ao aproximar
.
h) O ponto é mínimo local e também mínimo absoluto.
ii a)
b) Assíntotas: vertical
c) Ponto crítico:
d) Decrescente em
e) Concavidade para baixo em
f) Ponto de inflexão:
g) Gráfico com assíntotas
h) O ponto
ii a)