ii) (5 pontos) Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou pequena adaptação da regra da cadeia:
a) \int \frac{3-2 x+\sqrt{x}}{x^{5 / 2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{3 - 2x + \sqrt{x}}{x^{5/2}} \,dx
usando integrais elementares e, se necessário, pequenas adaptações da regra da cadeia. O conteúdo aqui é a integração de potências de x.

Passo 2

Vamos reescrever o integrando como soma de potências de x. Primeiro note que \sqrt{x}=x^{1/2} e que dividir por x^{5/2} equivale a subtrair expoentes:
\frac{3}{x^{5/2}} - \frac{2x}{x^{5/2}} + \frac{x^{1/2}}{x^{5/2}} =3x^{-5/2} - 2x^{-3/2} + x^{-2}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo usando a regra do poder
\displaystyle \int x^{m}\,dx = \frac{x^{m+1}}{m+1} (para m\neq -1):
\int 3x^{-5/2}\,dx =3\cdot\frac{x^{-5/2+1}}{-5/2+1} =3\cdot\frac{x^{-3/2}}{-3/2} =-2x^{-3/2},
\int -2x^{-3/2}\,dx =-2\cdot\frac{x^{-3/2+1}}{-3/2+1} =-2\cdot\frac{x^{-1/2}}{-1/2} =4x^{-1/2},
\int x^{-2}\,dx =\frac{x^{-2+1}}{-2+1} =\frac{x^{-1}}{-1} =-x^{-1}.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
-2x^{-3/2} + 4x^{-1/2} - x^{-1} + C.

Resposta

-2x^{-3/2} + 4x^{-1/2} - x^{-1} + C

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