Uma corda de comprimento está distendida, com as duas extremidades presas. (a) Determine em função de
(densidade linear de massa), A (amplitude) e v (velocidade de propagação da onda na corda) e
(frequência fundamental) a energia cinética máxima de cada modo vibracional na corda.
Passo 1
O enunciado pede: determinar, em função de
(densidade linear de massa),
(amplitude),
(velocidade de propagação da onda na corda) e
(frequência fundamental), a energia cinética máxima de cada modo vibracional da corda com as duas extremidades presas.
Informações dadas:
- Densidade linear de massa:
. - Amplitude do modo considerado:
. - Velocidade de propagação na corda:
. - Frequência fundamental:
. - A corda tem extremidades presas (condição de contorno que gera modos normais discretos).
- Vamos denotar por
o número do modo vibracional (modo fundamental é ).
O que se pede: a expressão da energia cinética máxima do modo
(isto é,
) em função das variáveis solicitadas (usar
, e obviamente o índice
para especificar o modo).
Passo 2
Modelo do modo normal (passo didático sobre formas das ondas estacionárias).
- Para uma corda presa nas duas extremidades, o modo
tem a forma espacial de uma senoide e varia no tempo harmonicamente. Podemos escrever a deformação transversal do modo como
onde:
-
é a coordenada ao longo da corda com (comprimento da corda), -
é a amplitude do modo (dada no enunciado), -
é o número de onda do modo , -
é a frequência angular do modo (em rad/s).
Relações entre as quantidades:
- Para extremidades presas,
. - A relação de dispersão para a corda (onda não dispersiva) é
. - A frequência (Hz) do modo
é . Como consequência, os harmónicos são múltiplos inteiros da fundamental:
- A frequência fundamental relaciona
e por
Essas relações permitem trocar
e
por
e
, como o enunciado pede.
Passo 3
Fórmula da energia cinética e velocidade das partículas da corda (passo didático).
- A velocidade transversal de uma pequena porção da corda é a derivada temporal de
:
- A densidade de energia cinética por comprimento (energia cinética por unidade de comprimento) é
- A energia cinética total na corda, no instante
, é a integral dessa densidade ao longo de :
Fatoramos coisas que não dependem de
:
Passo 4
Avaliação da integral espacial (passo didático sobre integração).
- Calcule
. Usamos a identidade :
Como
, temos
e
. Logo a segunda parcela é zero e sobra
- Substituindo na expressão de
:
- A energia cinética máxima ocorre quando
(instantes em que a deformação instantânea é zero e toda a energia está cinética). Portanto
Esta é uma forma útil que já mostra a dependência com
,
,
e
.
Passo 5
Expressar a resposta nas variáveis pedidas (
e o índice
) e simplificar.
- Primeiro escrevemos
em função de :
- Substituímos
na expressão obtida:
- Finalmente substituímos
usando :
- Essa é a expressão final em função somente de
e do índice . Observe que a energia cinética máxima do modo escala com e com .
Passo 6
Observações rápidas e encorajamento (curtinho, didático):
- Para o modo fundamental (
) basta tomar na fórmula. - Se estiver na hora da prova, memorize a passagem prática: calcule a velocidade local
, forme , integre de a , use , e aplique e . Se ficar nervoso, repita mentalmente essas quatro etapas — elas resolvem muitos problemas de cordas.