Uma corda de comprimento está distendida, com as duas extremidades presas. (a) Determine em função de \mu (densidade linear de massa), A (amplitude) e v (velocidade de propagação da onda na corda) e f_{1} (frequência fundamental) a energia cinética máxima de cada modo vibracional na corda.

Passo 1

O enunciado pede: determinar, em função de \mu (densidade linear de massa), A (amplitude), v (velocidade de propagação da onda na corda) e f_{1} (frequência fundamental), a energia cinética máxima de cada modo vibracional da corda com as duas extremidades presas.
Informações dadas:
  • Densidade linear de massa: \mu.
  • Amplitude do modo considerado: A.
  • Velocidade de propagação na corda: v.
  • Frequência fundamental: f_{1}.
  • A corda tem extremidades presas (condição de contorno que gera modos normais discretos).
  • Vamos denotar por n=1,2,3,\dots o número do modo vibracional (modo fundamental é n=1).
O que se pede: a expressão da energia cinética máxima do modo n (isto é, K_{\max}^{(n)}) em função das variáveis solicitadas (usar \mu, A, v, f_{1}, e obviamente o índice n para especificar o modo).

Passo 2

Modelo do modo normal (passo didático sobre formas das ondas estacionárias).
  • Para uma corda presa nas duas extremidades, o modo n tem a forma espacial de uma senoide e varia no tempo harmonicamente. Podemos escrever a deformação transversal do modo n como
y_n(x,t)=A\sin\!\bigl(k_n x\bigr)\cos\!\bigl(\omega_n t\bigr),
onde:
  • x é a coordenada ao longo da corda com 0\le x\le L (comprimento da corda),
  • A é a amplitude do modo (dada no enunciado),
  • k_n é o número de onda do modo n,
  • \omega_n é a frequência angular do modo n (em rad/s).
Relações entre as quantidades:
  • Para extremidades presas, k_n=\dfrac{n\pi}{L}.
  • A relação de dispersão para a corda (onda não dispersiva) é \omega_n = v k_n.
  • A frequência (Hz) do modo n é f_n=\dfrac{\omega_n}{2\pi}. Como consequência, os harmónicos são múltiplos inteiros da fundamental:
f_n = n f_{1}\quad(n=1,2,3,\dots).
  • A frequência fundamental relaciona L e v por
f_{1}=\frac{v}{2L}\quad\Rightarrow\quad L=\frac{v}{2f_{1}}.
Essas relações permitem trocar L e \omega_n por v e f_{1}, como o enunciado pede.

Passo 3

Fórmula da energia cinética e velocidade das partículas da corda (passo didático).
  • A velocidade transversal de uma pequena porção da corda é a derivada temporal de y_n:
\frac{\partial y_n}{\partial t} = -A\omega_n \sin\!\bigl(k_n x\bigr)\sin\!\bigl(\omega_n t\bigr).
  • A densidade de energia cinética por comprimento (energia cinética por unidade de comprimento) é
u_K(x,t)=\tfrac{1}{2}\,\mu\left(\frac{\partial y_n}{\partial t}\right)^{2}.
  • A energia cinética total na corda, no instante t, é a integral dessa densidade ao longo de x\in[0,L]:
K_n(t)=\int_{0}^{L} u_K(x,t)\,dx = \int_{0}^{L}\tfrac{1}{2}\mu A^{2}\omega_n^{2}\sin^{2}\!(k_n x)\sin^{2}\!(\omega_n t)\,dx.
Fatoramos coisas que não dependem de x:
K_n(t)=\tfrac{1}{2}\mu A^{2}\omega_n^{2}\sin^{2}\!(\omega_n t)\int_{0}^{L}\sin^{2}\!(k_n x)\,dx.

Passo 4

Avaliação da integral espacial (passo didático sobre integração).
  • Calcule \displaystyle\int_{0}^{L}\sin^{2}\!\bigl(k_n x\bigr)\,dx. Usamos a identidade \sin^{2}\theta=(1-\cos(2\theta))/2:
\int_{0}^{L}\sin^{2}\!(k_n x)\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{L}\bigl(1-\cos(2k_n x)\bigr)\,dx =\frac{L}{2}-\frac{1}{2}\left[\frac{\sin(2k_n x)}{2k_n}\right]_{0}^{L}.
Como k_n=\dfrac{n\pi}{L}, temos 2k_n L=2n\pi e \sin(2k_n L)=0. Logo a segunda parcela é zero e sobra
\int_{0}^{L}\sin^{2}\!(k_n x)\,dx=\frac{L}{2}.
  • Substituindo na expressão de K_n(t):
K_n(t)=\tfrac{1}{2}\mu A^{2}\omega_n^{2}\sin^{2}\!(\omega_n t)\cdot\frac{L}{2} =\frac{1}{4}\,\mu L A^{2}\omega_n^{2}\sin^{2}\!(\omega_n t).
  • A energia cinética máxima ocorre quando \sin^{2}\!(\omega_n t)=1 (instantes em que a deformação instantânea é zero e toda a energia está cinética). Portanto
K_{\max}^{(n)}=\frac{1}{4}\,\mu L A^{2}\omega_n^{2}.
Esta é uma forma útil que já mostra a dependência com \mu, L, A e \omega_n.

Passo 5

Expressar a resposta nas variáveis pedidas ( \mu,A,v,f_{1} e o índice n) e simplificar.
  • Primeiro escrevemos \omega_n em função de f_{1}:
\omega_n = 2\pi f_n = 2\pi n f_{1}\quad\Rightarrow\quad \omega_n^{2}=4\pi^{2}n^{2}f_{1}^{2}.
  • Substituímos \omega_n^{2} na expressão obtida:
K_{\max}^{(n)}=\frac{1}{4}\,\mu L A^{2}\cdot 4\pi^{2}n^{2}f_{1}^{2} =\mu L A^{2}\pi^{2}n^{2}f_{1}^{2}.
  • Finalmente substituímos L usando L=\dfrac{v}{2f_{1}}:
K_{\max}^{(n)}=\mu\left(\frac{v}{2f_{1}}\right)A^{2}\pi^{2}n^{2}f_{1}^{2} =\frac{1}{2}\,\mu v \pi^{2} n^{2}A^{2} f_{1}.
  • Essa é a expressão final em função somente de \mu, A, v, f_{1} e do índice n. Observe que a energia cinética máxima do modo n escala com n^{2} e com A^{2}.

Passo 6

Observações rápidas e encorajamento (curtinho, didático):
  • Para o modo fundamental ( n=1) basta tomar n=1 na fórmula.
  • Se estiver na hora da prova, memorize a passagem prática: calcule a velocidade local \partial y/\partial t, forme \tfrac{1}{2}\mu(\partial y/\partial t)^2, integre de 0 a L, use \int_0^L\sin^2= L/2, e aplique \omega_n=2\pi n f_1 e L=v/(2f_1). Se ficar nervoso, repita mentalmente essas quatro etapas — elas resolvem muitos problemas de cordas.

Resposta

K_{\max}^{(n)}=\frac{1}{4}\,\mu L A^{2}\omega_n^{2}
K_{\max}^{(n)}=\frac{1}{2}\,\mu v \pi^{2} n^{2} A^{2} f_{1},\qquad n=1,2,3,\dots

Exercícios relacionados