12{ }^{\text {a }} Questão:

Uma partícula se move em linha reta de A(0,0,0) a B(1,1,1), sob a ação do campo \mathbf{F}(x, y, z)= x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}. Determine o trabalho realizado.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado por um campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k} na partida de A=(0,0,0) até B=(1,1,1) ao longo de uma reta. Isso é uma integral de linha do tipo
W=\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Vamos parametrizar o segmento reto e calcular essa integral.

Passo 2

Como A e B têm as mesmas coordenadas em cada eixo, uma parametrização natural é
\mathbf{r}(t)=(t,t,t),\quad 0\le t\le1.
Então
d\mathbf{r}=(1,1,1)\,dt.

Passo 3

Substituindo na força, temos
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=(t,t,t).
O produto escalar fica
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot d\mathbf{r} =(t,t,t)\cdot(1,1,1)\,dt =3t\,dt.

Passo 4

Basta integrar de t=0 a t=1:
W=\int_{0}^{1}3t\,dt =3\int_{0}^{1}t\,dt =3\biggl[\frac{t^{2}}{2}\biggr]_{0}^{1} =\frac{3}{2}.

Resposta

O trabalho realizado é \displaystyle \tfrac{3}{2}.

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