13{ }^{\text {a }} Questão:

No plano x y, calcule o trabalho realizado pelo campo \mathbf{F}(x, y)=\left(x^{2}+y\right) \mathbf{i}+\left(y^{2}+x\right) \mathbf{j} sobre uma partícula que se move em linha reta de (0,0) a (2,2).

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pelo campo vetorial
\mathbf{F}(x,y)=(x^2+y)\,\mathbf{i}+(y^2+x)\,\mathbf{j}
ao longo da reta de (0,0) até (2,2).
Este é um caso de integral de linha de um campo vetorial, e vamos resolver usando uma parametrização da reta e a definição
W=\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\,.

Passo 2

Parametrizamos a reta ligando (0,0) a (2,2) por
\mathbf{r}(t)=(2t,2t)\,,\quad t\in[0,1].
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\frac{d\mathbf{r}}{dt}=(2,2)\quad\text{e}\quad d\mathbf{r}=(2,2)\,dt.

Passo 3

Substituímos \mathbf{r}(t) em \mathbf{F}:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) =\bigl((2t)^2+2t,\;(2t)^2+2t\bigr) =(4t^2+2t,\;4t^2+2t).

Passo 4

O produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) é
(4t^2+2t,\,4t^2+2t)\cdot(2,2) =2(4t^2+2t)+2(4t^2+2t) =16t^2+8t.

Passo 5

O trabalho é
W=\int_0^1\bigl(16t^2+8t\bigr)\,dt =\left[\frac{16}{3}t^3+4t^2\right]_0^1 =\frac{16}{3}+4 =\frac{28}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{28}{3}

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