7^{\mathrm{a}} Questão:

Determine a curvatura da curva \mathbf{r}(t)=\left\langle t, t^{2}, t^{4}\right\rangle na origem.

Passo 1

O enunciado dá a curva \mathbf{r}(t)=\langle t,t^2,t^4\rangle e pede a curvatura em t=0. Para isso, usamos a fórmula de curvatura de uma curva paramétrica:
\kappa(t) \;=\;\frac{\lVert \mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t)\rVert}{\lVert \mathbf{r}'(t)\rVert^3}.

Passo 2

Calculamos as derivadas primeira e segunda de \mathbf{r}(t):
\mathbf{r}'(t)=\langle 1,\,2t,\,4t^3\rangle,
\mathbf{r}''(t)=\langle 0,\,2,\,12t^2\rangle.

Passo 3

Em t=0 obtemos
\mathbf{r}'(0)=\langle1,0,0\rangle e \mathbf{r}''(0)=\langle0,2,0\rangle.
O produto vetorial é
\mathbf{r}'(0)\times \mathbf{r}''(0) =\langle0,0,2\rangle,
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\lVert\mathbf{r}'(0)\times \mathbf{r}''(0)\rVert=2 e \lVert\mathbf{r}'(0)\rVert=1.

Passo 4

Substituindo na fórmula da curvatura, temos
\kappa(0)=\frac{2}{1^3}=2.

Resposta

2

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