14{ }^{\text {a }} Questão:

No plano x y, calcule o trabalho realizado pelo campo \mathbf{F}(x, y)=\sin x \mathbf{i}+e^{y} \mathbf{j} sobre uma partícula que se move em linha reta de (0,0) a (\pi, 1).

Passo 1

O enunciado pede o trabalho do campo \mathbf{F}(x,y)=\sin x\,\mathbf{i}+e^{y}\,\mathbf{j} ao longo do segmento que vai de (0,0) a (\pi,1). O conteúdo é integral de linha de campo vetorial em um caminho paramétrico. Vamos usar a definição de trabalho
W=\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
e parametrizar o segmento.

Passo 2

Parametrizamos o segmento unindo (0,0) a (\pi,1) por
\mathbf{r}(t)=(\pi t,\;t),\quad 0\le t\le 1.
Então
d\mathbf{r}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}\,dt=(\pi,\;1)\,dt.

Passo 3

Em função de t, o campo vale
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\sin(\pi t)\,\mathbf{i}+e^{t}\,\mathbf{j}.
O produto escalar é
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot d\mathbf{r} =\bigl(\sin(\pi t)\cdot\pi\bigr)+\bigl(e^{t}\cdot1\bigr)\,dt =\bigl(\pi\sin(\pi t)+e^{t}\bigr)\,dt.

Passo 4

O trabalho é
W=\int_{0}^{1}\bigl(\pi\sin(\pi t)+e^{t}\bigr)\,dt =\pi\int_{0}^{1}\sin(\pi t)\,dt+\int_{0}^{1}e^{t}\,dt.
Calculando cada parte:
\pi\int_{0}^{1}\sin(\pi t)\,dt =\pi\Bigl[-\frac{\cos(\pi t)}{\pi}\Bigr]_{0}^{1} =-\bigl(\cos\pi-\cos0\bigr) =-\bigl(-1-1\bigr)=2,
\int_{0}^{1}e^{t}\,dt =\bigl[e^{t}\bigr]_{0}^{1} =e-1.
Somando,
W=2+(e-1)=e+1.

Resposta

O trabalho realizado é e+1.

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