12 (Unirio-RJ) Seja a matriz A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & c & 0 \\\\ 2 & 1 & -1 \\\ a & b & -2\end{array}\right]. Sabendo-se que A^{t}=A, calcule o determinante da matriz A-A^{2}+I_{3}^{2}, sendo I_{3} a matriz identidade de ordem 3.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz A=\bigl[a_{ij}\bigr] de ordem 3, com
A=\begin{pmatrix} -1 & c & 0\\\\ 2 & 1 & -1\\\ a & b & -2 \end{pmatrix}
e a condição A^{t}=A. Pede-se o determinante de
A - A^{2} + I_{3}^{2},
sabendo que I_{3} é a identidade de ordem 3. O conteúdo envolve simetria de matrizes, operações matriciais e cálculo de determinante.
Passo 2
Como A é simétrica, igualamos cada elemento fora da diagonal ao seu transposto: