12 (Unirio-RJ) Seja a matriz A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & c & 0 \\\\ 2 & 1 & -1 \\\ a & b & -2\end{array}\right]. Sabendo-se que A^{t}=A, calcule o determinante da matriz A-A^{2}+I_{3}^{2}, sendo I_{3} a matriz identidade de ordem 3.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A=\bigl[a_{ij}\bigr] de ordem 3, com
A=\begin{pmatrix} -1 & c & 0\\\\ 2 & 1 & -1\\\ a & b & -2 \end{pmatrix}
e a condição A^{t}=A. Pede-se o determinante de
A - A^{2} + I_{3}^{2},
sabendo que I_{3} é a identidade de ordem 3. O conteúdo envolve simetria de matrizes, operações matriciais e cálculo de determinante.

Passo 2

Como A é simétrica, igualamos cada elemento fora da diagonal ao seu transposto:
c = a_{12} = a_{21} = 2,
0 = a_{13} = a_{31} = a,
-1 = a_{23} = a_{32} = b.
Logo a=0, b=-1 e c=2.

Passo 3

Substituindo esses valores, obtemos
A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0\\\\ 2 & 1 & -1\\\\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora calculamos A^{2} por multiplicação de matrizes:
A^{2} =\begin{pmatrix} -1 & 2 & 0\\\\ 2 & 1 & -1\\\\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0\\\\ 2 & 1 & -1\\\\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 & -2\\\\ 0 & 6 & 1\\\\ -2 & 1 & 5 \end{pmatrix}.

Passo 5

Como I_{3}^{2}=I_{3}, definimos
B = A - A^{2} + I_{3}
e computamos entrada a entrada:
A + I_{3} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0\\\\ 2 & 2 & -1\\\\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = A + I_{3} - A^{2} = \begin{pmatrix} -5 & 2 & 2\\\\ 2 & -4 & -2\\\\ 2 & -2 & -6 \end{pmatrix}.

Passo 6

Finalmente, calculamos \det(B) por expansão na primeira linha:
\det(B) = -5\cdot\det\!\begin{pmatrix}-4 & -2\\\ -2 & -6\end{pmatrix} +2\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & -2\\\ 2 & -6\end{pmatrix} +2\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & -4\\\ 2 & -2\end{pmatrix}.
Cada menor vale
\det\begin{pmatrix}-4 & -2\\\ -2 & -6\end{pmatrix}=20, \quad \det\begin{pmatrix}2 & -2\\\ 2 & -6\end{pmatrix}=-8, \quad \det\begin{pmatrix}2 & -4\\\ 2 & -2\end{pmatrix}=4,
logo
\det(B) = -5\cdot20 + 2\cdot(-(-8)) + 2\cdot4 = -100 +16 +8 = -76.

Resposta

-76

Exercícios relacionados