Resolva, em \mathbf{R}, as seguintes equações:
\left|\begin{array}{rrr}\mathrm{x} & 0 & 1 \\\\ 2 \mathrm{x} & \mathrm{x} & 2 \\\\ 3 & 2 \mathrm{x} & \mathrm{x}\end{array}\right|=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, em \mathbb{R}, todos os valores de x tais que o determinante da matriz
\begin{pmatrix} x & 0 & 1\\\\ 2x & x & 2\\\\ 3 & 2x & x \end{pmatrix}
se anule. O conteúdo é cálculo de determinante de matriz 3\times3 e resolução da equação resultante.

Passo 2

Vamos expandir o determinante pela primeira linha (regra de Laplace):
\det = x \begin{vmatrix} x & 2\\\\ 2x & x \end{vmatrix} -0\cdot\bigl(\dots\bigr) +1\cdot \begin{vmatrix} 2x & x\\\\ 3 & 2x \end{vmatrix}.
Calculando os menores:
\begin{vmatrix} x & 2\\\\ 2x & x \end{vmatrix} = x\cdot x \;-\;2\cdot(2x) = x^2 - 4x,
\begin{vmatrix} 2x & x\\\\ 3 & 2x \end{vmatrix} = (2x)(2x)\;-\;x\cdot3 =4x^2 - 3x.
Logo,
\det = x\,(x^2 - 4x)\;+\;(4x^2 - 3x) = x^3 -4x^2 +4x^2 -3x = x^3 - 3x.

Passo 3

Impondo \det=0, vem
x^3 - 3x = 0.
Fatoramos x:
x\,(x^2 - 3)=0.

Passo 4

As soluções de x\,(x^2 - 3)=0 em \mathbb{R} são:
x=0 \quad\text{ou}\quad x^2=3 \;\Longrightarrow\; x=\pm\sqrt{3}.

Resposta

As soluções são
x=-\sqrt{3},\quad x=0,\quad x=\sqrt{3}.

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