Sejam as matrizes \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 1 & 0\end{array}\right), \mathrm{B}=\binom{1}{-2} e \mathrm{C}=\left(\begin{array}{ll}5 & -1\end{array}\right). Pede-se:
Determinar \lambda de maneira que \operatorname{det}(A-\lambda I)=0, em que I é a matriz identidade de ordem 2 \times 2.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix}
e pede os valores de \lambda tais que
\det\bigl(A - \lambda I\bigr) = 0.
Isso equivale a encontrar os autovalores de A, que surgem das raízes do polinômio característico.

Passo 2

Primeiro escrevemos a matriz A - \lambda I. Como I é a identidade 2\times2, temos
A - \lambda I = \begin{pmatrix}1 - \lambda & 2 \\\\ 1 & -\lambda\end{pmatrix}.

Passo 3

Agora calculamos o determinante dessa matriz usando \det\bigl(\begin{smallmatrix}a&b\c&d\end{smallmatrix}\bigr)=ad-bc:
\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)\,(-\lambda) \;-\; 2\cdot 1 = -\lambda + \lambda^2 - 2 = \lambda^2 - \lambda - 2.

Passo 4

Para achar os autovalores, igualamos o polinômio a zero e resolvemos:
\lambda^2 - \lambda - 2 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
\lambda = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1} = \frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}.
Logo as duas soluções são
\lambda_1 = \frac{1+3}{2} = 2, \quad \lambda_2 = \frac{1-3}{2} = -1.

Resposta

\lambda = 2 ou \lambda = -1.

Exercícios relacionados