5-12. Use multiplicadores de Lagrange os valores de máximo e mínimo de f sujeita à restrição dada. Além disso encontre os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.
5. f(x, y)=x y ; 4 x^2+8 y^2=16
8. f(x, y)=x-3 y-1 ; x^2+3 y^2=16
6. f(x, y)=x^2-y^2 ; x^2+y^2=25
9. f(x, y, z)=2 x+y-2 z ; x^2+y^2+z^2=4
7. f(x, y)=4 x^2+y^2 ; 2 x^2+y^2=1
10. f(x, y, z)=3 x+6 y+2 z ; 2 x^2+4 y^2+z^2=70

Passo 1

O enunciado lista seis problemas de otimização com restrições, todos resolvidos pelo método dos multiplicadores de Lagrange. Em cada caso temos uma função f de duas ou três variáveis e uma restrição do tipo g(x,y,dots)=0. O procedimento geral é:
  1. Escrever nabla f = lambda,nabla g.
  2. Juntar com a equação da restrição.
  3. Resolver o sistema para x,y,(z),lambda.
  4. Avaliar f nos pontos críticos e identificar máximos e mínimos.

Passo 2

Problema 5: f(x,y)=x y, restrição 4x^2+8y^2=16.
Gradientes:
nabla f=(y,;x), nabla g=(8x,;16y)
Lagrange:
y=8lambda x, x=16lambda y, 4x^2+8y^2=16
Das duas primeiras vem tfracy8x=tfracx16yRightarrow x^2=2y^2. Na restrição:
4(2y^2)+8y^2=16;Rightarrow;16y^2=16;Rightarrow;y=pm1,;x=pmraiz2
Os quatro pontos geram
f(raiz2,1)=f(-raiz2,-1)=raiz2, f(raiz2,-1)=f(-raiz2,1)=-raiz2
Máximo raiz2, mínimo -raiz2.

Passo 3

Problema 6: f=x^2-y^2, restrição x^2+y^2=25.
nabla f=(2x,-2y), nabla g=(2x,2y).
Lagrange:
2x=2lambda x, -2y=2lambda y, x^2+y^2=25
Se lambda=1 vem y=0, daí x=pm5;
se lambda=-1 vem x=0, daí y=pm5.
Avaliações:
f(pm5,0)=25, f(0,pm5)=-25
Máximo 25 em (pm5,0), mínimo -25 em (0,pm5).

Passo 4

Problema 7: f=4x^2+y^2, restrição 2x^2+y^2=1.
nabla f=(8x,2y), nabla g=(4x,2y).
Lagrange:
8x=4lambda x, 2y=2lambda y, 2x^2+y^2=1
Se xneq0 e yneq0 lambda=2 e lambda=1 impossível. Logo ou x=0 ou y=0.
— Se x=0: y^2=1, f=1.
— Se y=0: 2x^2=1, x=pm1/raiz2, f=2.
Máximo 2 em l(pmtfrac1raiz2,0r), mínimo 1 em (0,pm1).

Passo 5

Problema 8: f=x-3y-1, restrição x^2+3y^2=16.
nabla f=(1,-3), nabla g=(2x,6y).
Lagrange:
1=2lambda x, -3=6lambda y, x^2+3y^2=16
De 1/(2x)=-1/(2y) vem y=-x. Na restrição 4x^2=16Rightarrow x=pm2,;y=mp2.
Avaliações:
f(2,-2)=7, f(-2,2)=-9
Máximo 7 em (2,-2), mínimo -9 em (-2,2).

Passo 6

Problema 9: f=2x+y-2z, restrição x^2+y^2+z^2=4.
nabla f=(2,1,-2), nabla g=(2x,2y,2z).
Lagrange:
2=2lambda x, 1=2lambda y, -2=2lambda z, x^2+y^2+z^2=4
Daqui x=1/lambda, y=1/(2lambda), z=-1/lambda. Na esfera:
1lambda^2+14lambda^2+1lambda^2=94lambda^2=4 ;Rightarrow;lambda=pm34
Para lambda=3/4: (x,y,z)=(4/3,2/3,-4/3), f=6.
Para lambda=-3/4: (x,y,z)=(-4/3,-2/3,4/3), f=-6.
Máximo 6, mínimo -6.

Passo 7

Problema 10: f=3x+6y+2z, restrição 2x^2+4y^2+z^2=70.
nabla f=(3,6,2), nabla g=(4x,8y,2z).
Lagrange:
3=4lambda x, 6=8lambda y, 2=2lambda z, 2x^2+4y^2+z^2=70
x=y=3/(4lambda), z=1/lambda. Na restrição:
2cdot916lambda^2+4cdot916lambda^2+1lambda^2 =7016lambda^2=70 ;Rightarrow;lambda=pm14
Para lambda=1/4: (x,y,z)=(3,3,4), f=35.
Para lambda=-1/4: (x,y,z)=(-3,-3,-4), f=-35.
Máximo 35, mínimo -35.

Resposta

  1. Máximo raiz2 em l(raiz2,1r) e l(-raiz2,-1r); mínimo -raiz2 em l(raiz2,-1r) e l(-raiz2,1r).
  2. Máximo 25 em (5,0) e (-5,0); mínimo -25 em (0,5) e (0,-5).
  3. Máximo 2 em l(pmtfrac1raiz2,0r); mínimo 1 em (0,1) e (0,-1).
  4. Máximo 7 em (2,-2); mínimo -9 em (-2,2).
  5. Máximo 6 em l(tfrac43,tfrac23,-tfrac43r); mínimo -6 em l(-tfrac43,-tfrac23,tfrac43r).
  6. Máximo 35 em (3,3,4); mínimo -35 em (-3,-3,-4).

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