5-12. Use multiplicadores de Lagrange os valores de máximo e mínimo de
sujeita à restrição dada. Além disso encontre os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.
5.
8.
6.
9.
7.
10.
5.
8.
6.
9.
7.
10.
Passo 1
O enunciado lista seis problemas de otimização com restrições, todos resolvidos pelo método dos multiplicadores de Lagrange. Em cada caso temos uma função
de duas ou três variáveis e uma restrição do tipo
. O procedimento geral é:
- Escrever
. - Juntar com a equação da restrição.
- Resolver o sistema para
. - Avaliar
nos pontos críticos e identificar máximos e mínimos.
Passo 2
Problema 5:
, restrição
.
Gradientes:
Gradientes:
Lagrange:
Das duas primeiras vem
. Na restrição:
Os quatro pontos geram
Máximo
, mínimo
.
Passo 3
Problema 6:
, restrição
.
,
.
Lagrange:
Lagrange:
Se
vem
, daí
;
se vem
, daí
.
Avaliações:
se
Avaliações:
Máximo
em
, mínimo
em
.
Passo 4
Problema 7:
, restrição
.
,
.
Lagrange:
Lagrange:
Se
e
dá
e
impossível. Logo ou
ou
.
— Se :
,
.
— Se :
,
,
.
Máximo em
, mínimo
em
.
— Se
— Se
Máximo
Passo 5
Problema 8:
, restrição
.
,
.
Lagrange:
Lagrange:
De
vem
. Na restrição
.
Avaliações:
Avaliações:
Máximo
em
, mínimo
em
.
Passo 6
Problema 9:
, restrição
.
,
.
Lagrange:
Lagrange:
Daqui
,
,
. Na esfera:
Para
:
,
.
Para :
,
.
Máximo , mínimo
.
Para
Máximo
Passo 7
Problema 10:
, restrição
.
,
.
Lagrange:
Lagrange:
Dá
,
. Na restrição:
Para
:
,
.
Para :
,
.
Máximo , mínimo
.
Para
Máximo
Resposta
- Máximo
em e ; mínimo em e . - Máximo
em e ; mínimo em e . - Máximo
em ; mínimo em e . - Máximo
em ; mínimo em . - Máximo
em ; mínimo em . - Máximo
em ; mínimo em .