O plano x=1 apresenta interseção com o paraboloide z=x^2+y^2 em uma parábola. Encontre o coeficiente angular da tangente à parábola em P=(1,2,5).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o plano x = 1 que corta o paraboloide z = x^2 + y^2 , formando uma parábola. Nosso objetivo é encontrar o coeficiente angular da tangente a essa parábola no ponto P = (1, 2, 5) . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e cálculo diferencial, especificamente derivadas para encontrar a inclinação da tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da parábola formada pela interseção do plano x = 1 com o paraboloide z = x^2 + y^2 . Substituindo x = 1 na equação do paraboloide:
z = (1)^2 + y^2 z = 1 + y^2
Então, a equação da parábola é z = 1 + y^2 . Essa é uma parábola no plano y-z .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a inclinação da tangente a essa parábola no ponto P = (1, 2, 5) . Como a parábola está no plano y-z , podemos considerar y como a variável independente e z como a dependente. A inclinação da tangente é a derivada de z em relação a y , ou seja, dzdy .

Passo 4

Vamos calcular a derivada dzdy da função z = 1 + y^2 :
dzdy = ddy(1) + ddy(y^2) dzdy = 0 + 2y dzdy = 2y

Passo 5

Para encontrar a inclinação da tangente no ponto P , substituímos y = 2 na derivada:
dzdyg|y=2 = 2 times 2 = 4

Resposta

O coeficiente angular da tangente à parábola no ponto P = (1, 2, 5) é 4 .

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