O plano apresenta interseção com o paraboloide em uma parábola. Encontre o coeficiente angular da tangente à parábola em .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o plano que corta o paraboloide , formando uma parábola. Nosso objetivo é encontrar o coeficiente angular da tangente a essa parábola no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e cálculo diferencial, especificamente derivadas para encontrar a inclinação da tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação da parábola formada pela interseção do plano com o paraboloide . Substituindo na equação do paraboloide:
Então, a equação da parábola é . Essa é uma parábola no plano .
Passo 3
Agora, queremos encontrar a inclinação da tangente a essa parábola no ponto . Como a parábola está no plano , podemos considerar como a variável independente e como a dependente. A inclinação da tangente é a derivada de em relação a , ou seja, .
Passo 4
Vamos calcular a derivada da função :
Passo 5
Para encontrar a inclinação da tangente no ponto , substituímos na derivada:
Resposta
O coeficiente angular da tangente à parábola no ponto P = (1, 2, 5) é 4 .