Seja C o segmento de reta de (1,0) a (4,4). Calcule a integral de linha
integralC x^2 e^y d s

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralC x^2 e^y,ds
sobre o segmento de reta C que vai de (1,0) a (4,4).
Este é um caso de integral de primeira espécie, em que transformamos
integralC f(x,y),ds
numa integral de uma variável, usando uma parametrização de C, o cálculo de ds e a substituição na integranda.

Passo 2

Parametrizamos o segmento de reta ligando (1,0) a (4,4) por
r(t) = (x(t),y(t)) = (1 + 3t,;4t), tin[0,1]
Dessa forma,
x'(t)=3, y'(t)=4, ds = raiz(x'(t))^2 + (y'(t))^2,dt = raiz9 + 16,dt = 5,dt

Passo 3

Substituindo x(t), y(t) e ds na integranda, obtemos
x(t)^2,e^y(t),ds = (1+3t)^2,e^4tcdot 5,dt = 5,(1+3t)^2,e^4t,dt
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integralC x^2 e^y,ds = 5 integral0^1 (1+3t)^2,e^4t,dt

Passo 4

Expandindo (1+3t)^2 = 1 + 6t + 9t^2, a integral vira
5 integral0^1 l(1 + 6t + 9t^2r)e^4t,dt = 5l(integral0^1 e^4t,dt +6integral0^1 t,e^4t,dt +9integral0^1 t^2,e^4t,dtr)
Para cada termo usamos integração por partes.

Passo 5

Definimos
I0 = integral0^1 e^4t,dt, I1 = integral0^1 t,e^4t,dt, I2 = integral0^1 t^2,e^4t,dt
Calculamos em sequência:
I0 = l[tfrace^4t4r]0^1 = e^4 - 14,
I1 = l[tfract,e^4t4r]0^1 - integral0^1 tfrace^4t4,dt = e^44 ;-;14I0 = 3e^4 + 116,
I2 = l[tfract^2,e^4t4r]0^1 - integral0^1 tfrac2t,e^4t4,dt = e^44 ;-;tfrac12,I1 = 5e^4 - 132

Passo 6

Voltando à integral de linha,
integralC x^2 e^y,ds = 5l(I0 + 6I1 + 9I2r) = 5l(e^4-14 +63e^4+116 +95e^4-132r)
Ao colocar num único denominador 32 e somar, resulta
445,e^4 - 2532

Resposta

445,e^4 - 2532

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