1-2. Localize todos os máximos e mínimos absolutos, se houver, por inspeção. Então verifique sua resposta usando cálculo.
- a)
- a)
b)
b)
c)
c)
b)
b)
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede para, dado cada função de duas variáveis, identificar por inspeção onde ocorrem os extremos absolutos (máximos e mínimos) — se existirem — e depois confirmar essa resposta encontrando pontos críticos via derivadas parciais e classificando-os com a matriz Hessiana. Vamos aplicar isso a cada caso.
Passo 2
Função f(x,y) = (x−2)² + (y+1)². Por inspeção é soma de quadrados: mínimo absoluto ocorre quando cada quadrado é zero, isto é em (2,\u2009−1) com f=0; não há máximo pois a soma cresce sem limite.
Cálculo para f(x,y) = (x−2)² + (y+1)². As derivadas parciais são ∂f/∂x = 2(x−2), ∂f/∂y = 2(y+1). Igualando a zero obtém-se o único ponto crítico (2,\u2009−1). A Hessiana é
Cálculo para f(x,y) = (x−2)² + (y+1)². As derivadas parciais são ∂f/∂x = 2(x−2), ∂f/∂y = 2(y+1). Igualando a zero obtém-se o único ponto crítico (2,\u2009−1). A Hessiana é
que é definida positiva (autovalores 2 e 2), confirmando mínimo absoluto em (2,\u2009−1).
Passo 3
Função f(x,y) = 1 − (x+1)² − (y−5)². Por inspeção temos um «chapéu invertido»: máximo absoluto em (−1,\u20095) com valor f=1; não há mínimo.
Cálculo para f(x,y) = 1 − (x+1)² − (y−5)². Derivadas ∂f/∂x = −2(x+1), ∂f/∂y = −2(y−5). Zerando, ponto crítico em (−1,\u20095). Hessiana
Cálculo para f(x,y) = 1 − (x+1)² − (y−5)². Derivadas ∂f/∂x = −2(x+1), ∂f/∂y = −2(y−5). Zerando, ponto crítico em (−1,\u20095). Hessiana
é definida negativa, confirmando máximo absoluto em (−1,\u20095).
Passo 4
Função f(x,y) = 1 − x² − y². Por inspeção é chapéu invertido centrado na origem: máximo absoluto em (0,\u20090) valendo f=1; sem mínimo.
Cálculo para f(x,y) = 1 − x² − y². Derivadas ∂f/∂x = −2x, ∂f/∂y = −2y, geram ponto crítico em (0,\u20090). Hessiana
Cálculo para f(x,y) = 1 − x² − y². Derivadas ∂f/∂x = −2x, ∂f/∂y = −2y, geram ponto crítico em (0,\u20090). Hessiana
é definida negativa, confirmando máximo absoluto em (0,\u20090).
Passo 5
Função f(x,y) = e^{xy}. Por inspeção cresce sem limite quando xy→+∞ e tende a 0 quando xy→−∞; não há máximos nem mínimos absolutos. Cálculo: ∂f/∂x = y e^{xy}, ∂f/∂y = x e^{xy}. A única solução ∇f=0 é x=0, y=0, mas a Hessiana em (0,0)
é indefinida, indicando ponto de sela, logo sem extremos.
Passo 6
Função f(x,y) = x + 2y − 5. É uma função afim, por inspeção não é limitada nem para cima nem para baixo, portanto sem extremos. Pelo cálculo, ∂f/∂x=1, ∂f/∂y=2 nunca se anulam, logo não há ponto crítico.
Passo 7
Função f(x,y) = x² − y². Por inspeção é tipo sela: cresce em x e decresce em y, sem máximos nem mínimos absolutos. Cálculo: ∂f/∂x=2x, ∂f/∂y=-2y → ponto crítico (0,0). Hessiana
é indefinida, confirmando ponto de sela e ausência de extremos.
Resposta
Para cada função: f₁(x,y)=(x−2)²+(y+1)² tem mínimo absoluto em (2,−1), f=0, sem máximo.
f₂₍a₎(x,y)=1−(x+1)²−(y−5)² tem máximo absoluto em (−1,5), f=1, sem mínimo.
f₂₍b₁₎(x,y)=1−x²−y² tem máximo absoluto em (0,0), f=1, sem mínimo.
f₂₍b₂₎(x,y)=e^{xy} não tem máximos nem mínimos absolutos.
f₂₍c₁₎(x,y)=x+2y−5 não tem máximos nem mínimos absolutos.
f₂₍c₂₎(x,y)=x²−y² não tem máximos nem mínimos absolutos.
f₂₍a₎(x,y)=1−(x+1)²−(y−5)² tem máximo absoluto em (−1,5), f=1, sem mínimo.
f₂₍b₁₎(x,y)=1−x²−y² tem máximo absoluto em (0,0), f=1, sem mínimo.
f₂₍b₂₎(x,y)=e^{xy} não tem máximos nem mínimos absolutos.
f₂₍c₁₎(x,y)=x+2y−5 não tem máximos nem mínimos absolutos.
f₂₍c₂₎(x,y)=x²−y² não tem máximos nem mínimos absolutos.