Encontre os valores máximo local, os pontos mínimo local e os pontos de sela da funcão
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar os valores máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função $ f(x, y) = x^{3} + y^{3} -3x -3y +1 $. Isso está relacionado ao estudo de funções de várias variáveis, especificamente como identificar seus pontos críticos usando derivadas parciais e depois classificá-los usando o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $. Isso vai nos ajudar a identificar os pontos críticos onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 3
Em seguida, vamos encontrar os pontos críticos, que são os pontos onde as derivadas parciais são iguais a zero. Então, resolvemos:
Passo 4
Simplificando as equações:
Portanto, os pontos críticos são: $ (1, 1) $, $ (1, -1) $, $ (-1, 1) $ e $ (-1, -1) $.
Passo 5
Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Primeiro, encontramos as derivadas segundas:
O discriminante $ D $ é dado por:
Vamos avaliar $ D $ em cada ponto crítico:
- Em $ (1, 1) $:
Como $ f_{xx} = 6(1) = 6 > 0 $, o ponto é um mínimo local.
- Em $ (1, -1) $:
Como $ D < 0 $, o ponto é um ponto de sela.
- Em $ (-1, 1) $:
Como $ D < 0 $, o ponto é um ponto de sela.
- Em $ (-1, -1) $:
Como $ f_{xx} = 6(-1) = -6 < 0 $, o ponto é um máximo local.
Resposta
A função possui:
- Máximo local em $ (-1, -1) $
- Mínimo local em $ (1, 1) $
- Pontos de sela em $ (1, -1) $ e $ (-1, 1) $