Encontre os valores máximo local, os pontos mínimo local e os pontos de sela da funcão
f(x, y)=x^3+y^3-3 x-3 y+1

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar os valores máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função $ f(x, y) = x^{3} + y^{3} -3x -3y +1 $. Isso está relacionado ao estudo de funções de várias variáveis, especificamente como identificar seus pontos críticos usando derivadas parciais e depois classificá-los usando o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $. Isso vai nos ajudar a identificar os pontos críticos onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela.
x
y

Passo 3

Em seguida, vamos encontrar os pontos críticos, que são os pontos onde as derivadas parciais são iguais a zero. Então, resolvemos:
3x^2 -3 = 0
3y^2 -3 = 0

Passo 4

Simplificando as equações:
x^2 = 1 implies x = pm1
y^2 = 1 implies y = pm1
Portanto, os pontos críticos são: $ (1, 1) $, $ (1, -1) $, $ (-1, 1) $ e $ (-1, -1) $.

Passo 5

Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Primeiro, encontramos as derivadas segundas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6x
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 6y
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 0
O discriminante $ D $ é dado por:
D
Vamos avaliar $ D $ em cada ponto crítico:
  1. Em $ (1, 1) $:
D = fxx fyy - (fxy)^2 = 36xy
Como $ f_{xx} = 6(1) = 6 > 0 $, o ponto é um mínimo local.
  1. Em $ (1, -1) $:
D
Como $ D < 0 $, o ponto é um ponto de sela.
  1. Em $ (-1, 1) $:
(1, 1)
Como $ D < 0 $, o ponto é um ponto de sela.
  1. Em $ (-1, -1) $:
D = 36(1)(1) = 36 > 0
Como $ f_{xx} = 6(-1) = -6 < 0 $, o ponto é um máximo local.

Resposta

A função possui:
  • Máximo local em $ (-1, -1) $
  • Mínimo local em $ (1, 1) $
  • Pontos de sela em $ (1, -1) $ e $ (-1, 1) $

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