(1+2 x) y^{\prime \prime}+4 x y^{\prime}-4 y=0 ; y_{1}=e^{-2 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem
(1+2x)y''+4x y'-4y=0
e informa uma solução conhecida
y_1=e^{-2x}.
O que se pede (implícito) é encontrar a solução geral y(x) da equação, usando a informação de que y_1 é uma solução. Todas as informações relevantes já estão acima: a equação e a solução particular y_1.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão (coeficiente de y'' igual a 1), dividindo toda a equação por 1+2x (assumindo 1+2x\neq0; a solução geral vale em intervalos onde isso é verdade):
y''+\underbrace{\frac{4x}{1+2x}}_{P(x)}\,y'-\underbrace{\frac{4}{1+2x}}_{Q(x)}\,y=0.
Aqui estou definindo
P(x)=\frac{4x}{1+2x},\qquad Q(x)=-\frac{4}{1+2x}.
Explicar por que fazemos isso: a forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0 é a forma em que as técnicas padrão (como redução de ordem) têm fórmulas simples e aplicáveis.

Passo 3

Método que vamos usar: redução de ordem. Ideia: se y_1 é uma solução conhecida de uma equação linear homogênea de segunda ordem, procuramos a segunda solução independente na forma
y_2=v(x)\,y_1(x),
onde v(x) é uma função a determinar. Vou derivar as fórmulas passo a passo (isso ajuda muito a entender e aplicar na prova).
Calcule as derivadas de y=v y_1:
y' = v'y_1 + v y_1',
y'' = v''y_1 + 2v'y_1' + v y_1''.
Substituindo em y''+P\,y'+Q\,y=0 (a forma padrão), obtemos
v''y_1 + 2v'y_1' + v y_1'' + P\big(v'y_1+v y_1'\big) + Q v y_1 = 0.
Agrupando termos em v, v'\!, v'':
v''y_1 + v'\big(2y_1' + P y_1\big) + v\big(y_1'' + P y_1' + Q y_1\big)=0.
Como y_1 é solução da equação original, ela satisfaz y_1''+P y_1'+Q y_1=0. Portanto o termo multiplicado por v some, restando
v''y_1 + v'\big(2y_1' + P y_1\big)=0.
Isto é uma equação de primeira ordem para w=v' (pois a derivada mais alta agora é v''). Definindo w=v', obtemos
w' y_1 + w\big(2y_1' + P y_1\big)=0.
Esta é uma equação linear de primeira ordem para w(x). Podemos escrever como
w' + w\frac{2y_1' + P y_1}{y_1}=0.
Isto é separável/resolvível por fator integrante. A solução geral para w é, até constante multiplicativa,
w = C\exp\Big(-\int \frac{2y_1' + P y_1}{y_1}\,dx\Big).
Reescrevendo o integrando:
\frac{2y_1' + P y_1}{y_1} = 2\frac{y_1'}{y_1} + P.
Logo
w = v' = C\exp\Big(-\int \big(2\frac{y_1'}{y_1}+P\big)\,dx\Big)=C\frac{e^{-\int P\,dx}}{y_1^2},
onde usei que e^{-\int 2(y_1'/y_1)\,dx}=e^{-2\ln y_1}=y_1^{-2}. Integrando v'=w dá a fórmula prática muito usada:
v(x)=C\int \frac{e^{-\int P\,dx}}{y_1^2}\,dx.
Podemos tomar C=1 ao obter uma solução particular v; constantes multiplicativas serão absorvidas depois pelos coeficientes na solução geral. Resumo prático (fórmula conhecida):
\boxed{y_2 = y_1(x)\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_1(x)^2}\,dx.}

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula usando P(x)=\dfrac{4x}{1+2x} e y_1=e^{-2x}.
Calcule primeiro a primitiva \displaystyle\int P(x)\,dx. Simplifico P(x):
\frac{4x}{1+2x}=2-\frac{2}{1+2x},
porque 2-\dfrac{2}{1+2x} = \dfrac{2(1+2x)-2}{1+2x}=\dfrac{4x}{1+2x}. Então
\int P(x)\,dx=\int\!\Big(2-\frac{2}{1+2x}\Big)\,dx =2x-2\cdot\frac{1}{2}\ln(1+2x) =2x-\ln(1+2x).

Passo 5

Usando esse resultado, calcule o integrando da fórmula:
e^{-\int P\,dx}=e^{-(2x-\ln(1+2x))}=e^{-2x}e^{\ln(1+2x)}=(1+2x)e^{-2x}.
Também temos
y_1^2 = \big(e^{-2x}\big)^2 = e^{-4x}.
Portanto
\frac{e^{-\int P\,dx}}{y_1^2}=\frac{(1+2x)e^{-2x}}{e^{-4x}}=(1+2x)e^{2x}.
Agora integramos esse termo:
\int (1+2x)e^{2x}\,dx = \int e^{2x}\,dx + 2\int x e^{2x}\,dx.
Calcule cada parte:
\int e^{2x}\,dx=\tfrac{1}{2}e^{2x}.
Para \int x e^{2x}\,dx uso integração por partes: seja u=x, dv=e^{2x}dx. Então du=dx, v=\tfrac{1}{2}e^{2x}, e
\int x e^{2x}\,dx = x\cdot\tfrac{1}{2}e^{2x} - \int \tfrac{1}{2}e^{2x}\,dx = \tfrac{x}{2}e^{2x} - \tfrac{1}{4}e^{2x}.
Multiplicando por 2 e somando a \tfrac{1}{2}e^{2x}:
\int (1+2x)e^{2x}\,dx = \tfrac{1}{2}e^{2x} + 2\Big(\tfrac{x}{2}e^{2x} - \tfrac{1}{4}e^{2x}\Big) = \tfrac{1}{2}e^{2x} + e^{2x}\big(x - \tfrac{1}{2}\big) = x e^{2x}.
(Um belo cancelamento: \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}=0.) Acrescenta-se uma constante de integração, mas ao construir y_2 uma constante multiplicativa será desprezível para independência linear.

Passo 6

Agora construímos y_2 pela fórmula:
y_2 = y_1\cdot \big(\text{primitiva encontrada}\big) = e^{-2x}\cdot \big(x e^{2x}\big) = x.
Portanto uma segunda solução independente é y_2=x.
Verificação rápida (opcional, mas boa prática): para y=x temos y'=1, y''=0, e substituindo na equação original:
(1+2x)\cdot 0 + 4x\cdot 1 -4x = 0,
logo y=x satisfaz a equação, confirmado.

Passo 7

Como y_1=e^{-2x} e y_2=x são linearmente independentes (por exemplo, W(y_1,y_2)=\begin{vmatrix}e^{-2x} & x \\\\ -2e^{-2x} & 1\end{vmatrix}=e^{-2x}\cdot1 - x\cdot(-2e^{-2x})=e^{-2x}(1+2x), que não é identicamente zero), a solução geral da equação é a combinação linear dos dois:
y(x)=C_1 e^{-2x} + C_2 x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_1 e^{-2x}+C_2 x

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