Seja Omega um conjunto não vazio e seja A=A1, A2, cdots, An uma família (ou classe) de subconjuntos de Omega. Diremos que A é uma álgebra sobre Omega se satisfaz:
i) Omega in A,
ii) se Ai in A então Ai ^c in A, forall i=1,2, cdots, n.
iii) forall n, se A1, A2, cdots, An in A então cupi=1^n Ai in A.
c) Para Omega=1,2, cdots, 6 comprove que P(Omega), o conjunto das partes de Omega, é uma álgebra.

Passo 1

Beleza, olha só o que o exercício pede: temos um universo Omega = 1,2,3,4,5,6 e a família de todos os subconjuntos de Omega, que é a tal da P(Omega). A matéria é sobre “álgebra de conjuntos”: basicamente, mostrar que essa coleção satisfaz três regrinhas (i) contém Omega, (ii) é fechada por complemento e (iii) é fechada por união finita. Para resolver, a gente vai usar definições básicas de “conjunto das partes” (power set), de complemento e de união.

Passo 2

Verificando a condição (i): Omega in P(Omega).
Teoria: por definição, P(Omega) é o conjunto de TODOS os subconjuntos de Omega.
Resolução: como Omega é um subconjunto de si mesmo, automaticamente Omega in P(Omega). Pronto, condição (i) garantida.

Passo 3

Verificando a condição (ii): se A in P(Omega) então A^c in P(Omega).
Teoria: dado Asubseteq Omega, definimos o complemento relativo A^c = ,xinOmega : xnotin A. Como A^c também é um subconjunto de Omega, ele deve estar em P(Omega).
Resolução: pegue qualquer AinP(Omega). Sabemos que AsubseteqOmega, logo A^csubseteqOmega. Como P(Omega) tem todos os subconjuntos de Omega, aí vem que A^cinP(Omega). Condição (ii) satisfeita.

Passo 4

Verificando a condição (iii): se A1,dots,AninP(Omega) então cupi=1^n AiinP(Omega).
Teoria: a união de quaisquer subsets de Omega ainda é um subset de Omega.
Resolução: escolha A1,dots,AnsubseteqOmega. A união cupi=1^n Ai é um subconjunto de Omega (nenhum elemento de fora entra), então está em P(Omega). Fechamento por união finita conferido.

Resposta

Portanto, P(Omega) satisfaz (i), (ii) e (iii) e, logo, é uma álgebra sobre Omega.

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