Seja
um conjunto não vazio e seja
uma família (ou classe) de subconjuntos de
. Diremos que
é uma álgebra sobre
se satisfaz:
i)
,
ii)
se
então
.
iii)
, se
então
.
c) Para
comprove que
, o conjunto das partes de
, é uma álgebra.
i)
ii)
iii)
c) Para
Passo 1
Beleza, olha só o que o exercício pede: temos um universo
e a família de todos os subconjuntos de
, que é a tal da
. A matéria é sobre “álgebra de conjuntos”: basicamente, mostrar que essa coleção satisfaz três regrinhas (i) contém
, (ii) é fechada por complemento e (iii) é fechada por união finita. Para resolver, a gente vai usar definições básicas de “conjunto das partes” (power set), de complemento e de união.
Passo 2
Verificando a condição (i):
.
Teoria: por definição, é o conjunto de TODOS os subconjuntos de
.
Resolução: como é um subconjunto de si mesmo, automaticamente
. Pronto, condição (i) garantida.
Teoria: por definição,
Resolução: como
Passo 3
Verificando a condição (ii): se
então
.
Teoria: dado , definimos o complemento relativo
. Como
também é um subconjunto de
, ele deve estar em
.
Resolução: pegue qualquer . Sabemos que
, logo
. Como
tem todos os subconjuntos de
, aí vem que
. Condição (ii) satisfeita.
Teoria: dado
Resolução: pegue qualquer
Passo 4
Verificando a condição (iii): se
então
.
Teoria: a união de quaisquer subsets de ainda é um subset de
.
Resolução: escolha . A união
é um subconjunto de
(nenhum elemento de fora entra), então está em
. Fechamento por união finita conferido.
Teoria: a união de quaisquer subsets de
Resolução: escolha
Resposta
Portanto,
satisfaz (i), (ii) e (iii) e, logo, é uma álgebra sobre
.