Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
f_{15}: \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), f_{15}\left(x t^{3}+y t^{2}+z t+w\right)=(x+w) t^{2}+(x-2 z+4 y)

Passo 1

O enunciado define a aplicação
\mathrm{f}_{15}\colon \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \to \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})
por
\mathrm{f}_{15}\bigl(x t^{3}+y t^{2}+z t+w\bigr) \;=\;(x+w)\,t^{2} \;+\;(x-2z+4y).
O conteúdo é transformação linear. Para mostrar que \mathrm{f}_{15} é linear, vamos verificar as propriedades de aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Sejam
P_{1}(t)=x_{1}t^{3}+y_{1}t^{2}+z_{1}t+w_{1},\quad P_{2}(t)=x_{2}t^{3}+y_{2}t^{2}+z_{2}t+w_{2}.
Então
P_{1}+P_{2}=(x_{1}+x_{2})t^{3}+(y_{1}+y_{2})t^{2}+(z_{1}+z_{2})t+(w_{1}+w_{2}),
e aplicando \mathrm{f}_{15} temos
\mathrm{f}_{15}(P_{1}+P_{2}) =\bigl((x_{1}+x_{2})+(w_{1}+w_{2})\bigr)t^{2} +\bigl((x_{1}+x_{2})-2(z_{1}+z_{2})+4(y_{1}+y_{2})\bigr).
Separando em soma, isso é
\bigl(x_{1}+w_{1}\bigr)t^{2}+(x_{1}-2z_{1}+4y_{1}) + \bigl(x_{2}+w_{2}\bigr)t^{2}+(x_{2}-2z_{2}+4y_{2}) =\mathrm{f}_{15}(P_{1})+\mathrm{f}_{15}(P_{2}).

Passo 3

Para homogeneidade, seja \lambda\in\mathbb{R} e
P(t)=xt^{3}+yt^{2}+zt+w.
Temos
\lambda P(t)= (\lambda x)t^{3}+(\lambda y)t^{2}+(\lambda z)t+(\lambda w),
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\mathrm{f}_{15}(\lambda P) =\bigl(\lambda x+\lambda w\bigr)t^{2}+\bigl(\lambda x-2\lambda z+4\lambda y\bigr) =\lambda\bigl((x+w)t^{2}+(x-2z+4y)\bigr) =\lambda\,\mathrm{f}_{15}(P).

Passo 4

Como \mathrm{f}_{15} satisfaz
\mathrm{f}_{15}(P_{1}+P_{2})=\mathrm{f}_{15}(P_{1})+\mathrm{f}_{15}(P_{2})
e
\mathrm{f}_{15}(\lambda P)=\lambda\,\mathrm{f}_{15}(P),
concluímos que \mathrm{f}_{15} é de fato uma transformação linear.

Resposta

\mathrm{f}_{15} é transformação linear.

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