124 Mostre que se T: V \rightarrow W é uma transformação linear, então:
  • T\left(0_{V}\right)=0_{W}
  • T(u-v)=T(u)-T(v), quaisquer que sejam u e v em V.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas propriedades de uma transformação linear
T:V\to W:
1. T(0_{V})=0_{W} 2. T(u-v)=T(u)-T(v) para quaisquer u,v\in V.
Como T é linear, vale para todos x,y\in V e todo escalar c:
T(x+y)=T(x)+T(y), \quad T(c\,x)=c\,T(x).
Vamos usar exatamente essas duas propriedades.

Passo 2

Para provar T(0_{V})=0_{W}, note que em V temos
0_{V}=0\cdot v
para qualquer v\in V. Aplicando T e usando homogeneidade com escalar 0:
T(0_{V}) = T(0\cdot v) = 0\,T(v) = 0_{W}.
Logo T(0_{V})=0_{W}.

Passo 3

Para provar T(u-v)=T(u)-T(v), observe que
u - v = u + (-1)\,v.
Aplicando T e usando aditividade e homogeneidade com escalar -1:
T(u-v) = T\bigl(u+(-1)\,v\bigr) = T(u) + T\bigl((-1)\,v\bigr) = T(u) + (-1)\,T(v) = T(u) - T(v).

Resposta

Concluímos que
T(0_{V})=0_{W}
e
T(u-v)=T(u)-T(v).

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