137 Verdadeiro ou Falso:
- Se
for um vetor não nulo em
, então existe exatamente uma transformação linear
:
tal que
.
- Se o núcleo de uma transformação linear
for 0 , então
é um isomorfismo.
- Qualquer transformação linear de
em
é um isomorfismo.
- Existe alguma matriz
de tamanho
tal que
definida por
seja um isomorfismo.
- Existe alguma transformação linear
tal que o núcleo de
seja isomorfo à imagem de
.
Passo 1
O enunciado lista cinco afirmações sobre transformações lineares e pede para decidir se cada uma é verdadeira ou falsa. Vamos usar conceitos de existência e unicidade de aplicações lineares, núcleo e imagem, isomorfismo (injeçã
obrejeção em espaços de mesma dimensão), dimensões de espaços de matrizes e polinômios, o teorema do posto-nulidade e propriedades do comutador de matrizes.
Passo 2
A primeira afirmação diz: “Se
for um vetor não nulo em
, então existe exatamente uma transformação linear
tal que
.”
Observar que implica
Observar que
Mas uma vez que exigimos apenas
, ainda podemos definir
livremente em uma base complementar de
, gerando infinitas transformações lineares. Logo, não há unicidade.
Passo 3
A segunda afirmação diz: “Se o núcleo de uma transformação linear
for
, então
é um isomorfismo.”
Aqui . Ter
significa que
é injetora, então por posto-nulidade
Aqui
e como o contradomínio também tem dimensão
,
é sobrejetora e portanto isomorfismo.
Passo 4
A terceira afirmação diz: “Qualquer transformação linear de
em
é um isomorfismo.”
Temos e
. Uma transformação linear não pode ser injetora e sobrejetora simultaneamente quando domínio e contradomínio têm dimensões diferentes. Logo não pode ser isomorfismo.
Temos
Passo 5
A quarta afirmação diz: “Existe alguma matriz
de tamanho
tal que
seja um isomorfismo em
.”
Note que é o conjunto de todas as matrizes que comutam com
. Mas para qualquer
, seu centralizador tem dimensão pelo menos
(por exemplo, os polinômios em
geram subespaço de dimensão
). Então
e
não pode ser injetora, logo não é isomorfismo.
Note que
Passo 6
A quinta afirmação diz: “Existe alguma transformação linear
tal que o núcleo de
seja isomorfo à imagem de
.”
Temos , e por posto-nulidade
Temos
Para que
e
sejam isomorfos, suas dimensões teriam que ser iguais, digamos
. Mas daí
, o que não é inteiro. Logo não existe tal transformação.
Resposta
(
) Falso.
( ) Verdadeiro.
( ) Falso.
( ) Falso.
( ) Falso.
(
(
(
(