137 Verdadeiro ou Falso:
  • Se v for um vetor não nulo em V, então existe exatamente uma transformação linear T : V \rightarrow W tal que T(v)=-T(v).
  • Se o núcleo de uma transformação linear T: P_{3} \rightarrow P_{3} for 0 , então T é um isomorfismo.
  • Qualquer transformação linear de M_{3} \times 3 em P_{9} é um isomorfismo.
  • Existe alguma matriz P de tamanho 2 \times 2 tal que T: M_{2 \times 2} \rightarrow M_{2 \times 2} definida por T(A)= A P-P A seja um isomorfismo.
  • Existe alguma transformação linear T: P_{4} \rightarrow P_{4} tal que o núcleo de T seja isomorfo à imagem de T.

Passo 1

O enunciado lista cinco afirmações sobre transformações lineares e pede para decidir se cada uma é verdadeira ou falsa. Vamos usar conceitos de existência e unicidade de aplicações lineares, núcleo e imagem, isomorfismo (injeçã o+sobrejeção em espaços de mesma dimensão), dimensões de espaços de matrizes e polinômios, o teorema do posto-nulidade e propriedades do comutador de matrizes.

Passo 2

A primeira afirmação diz: “Se v for um vetor não nulo em V, então existe exatamente uma transformação linear T:V\to W tal que T(v)=-T(v).”
Observar que T(v)=-T(v) implica
T(v)=0.
Mas uma vez que exigimos apenas T(v)=0, ainda podemos definir T livremente em uma base complementar de v, gerando infinitas transformações lineares. Logo, não há unicidade.

Passo 3

A segunda afirmação diz: “Se o núcleo de uma transformação linear T: P_{3}\to P_{3} for 0, então T é um isomorfismo.”
Aqui \dim P_{3}=4. Ter \ker T=\{0\} significa que T é injetora, então por posto-nulidade
\dim(\operatorname{im}T)=4,
e como o contradomínio também tem dimensão 4, T é sobrejetora e portanto isomorfismo.

Passo 4

A terceira afirmação diz: “Qualquer transformação linear de M_{3\times3} em P_{9} é um isomorfismo.”
Temos \dim M_{3\times3}=9 e \dim P_{9}=10. Uma transformação linear não pode ser injetora e sobrejetora simultaneamente quando domínio e contradomínio têm dimensões diferentes. Logo não pode ser isomorfismo.

Passo 5

A quarta afirmação diz: “Existe alguma matriz P de tamanho 2\times2 tal que
T(A)=A\,P - P\,A
seja um isomorfismo em M_{2\times2}.”
Note que \ker T é o conjunto de todas as matrizes que comutam com P. Mas para qualquer P\in M_{2\times2}, seu centralizador tem dimensão pelo menos 2 (por exemplo, os polinômios em P geram subespaço de dimensão 2). Então \ker T\neq\{0\} e T não pode ser injetora, logo não é isomorfismo.

Passo 6

A quinta afirmação diz: “Existe alguma transformação linear T:P_{4}\to P_{4} tal que o núcleo de T seja isomorfo à imagem de T.”
Temos \dim P_{4}=5, e por posto-nulidade
\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{im}T)=5.
Para que \ker T e \operatorname{im}T sejam isomorfos, suas dimensões teriam que ser iguais, digamos k. Mas daí 2k=5, o que não é inteiro. Logo não existe tal transformação.

Resposta

( 1) Falso.
( 2) Verdadeiro.
( 3) Falso.
( 4) Falso.
( 5) Falso.

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