Seja T: \mathbb{R}^{4} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear dada pela fórmula
T(x, y, z, w)=(4 x+y-2 z-3 w, 2 x+y+z-4 w, 6 x-9 z+9 w) .
Em cada caso decida se o vetor está em \operatorname{Im}(T) :
(2, 4, 1)

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3},\quad T(x,y,z,w) = (4x+y-2z-3w,\;2x+y+z-4w,\;6x-9z+9w)
e pede para decidir se o vetor (2,4,1) está em \mathrm{Im}(T). Isso equivale a verificar se o sistema
T(x,y,z,w) = (2,4,1)
é compatível.

Passo 2

Escrevemos o sistema de três equações lineares em quatro incógnitas:
\begin{cases} 4x + y - 2z - 3w = 2,\\\\ 2x + y + z - 4w = 4,\\\\ 6x - 9z + 9w = 1. \end{cases}

Passo 3

Para eliminar y, subtraímos a segunda equação da primeira:
(4x+y-2z-3w)\;-\;(2x+y+z-4w) \;=\;2-4 \;\Longrightarrow\; 2x - 3z + w = -2.

Passo 4

Multiplicamos essa nova equação por 3 e subtraímos da terceira equação original:
\bigl(6x -9z +9w\bigr)\;-\;3\bigl(2x -3z +w\bigr) \;=\;1 - 3(-2) \;\Longrightarrow\; 6w = 7 \;\Longrightarrow\; w = \tfrac{7}{6}.

Passo 5

Com w=\tfrac{7}{6} e a equação 2x - 3z + w = -2 temos
2x - 3z = -2 - \tfrac{7}{6} = -\tfrac{19}{6},
que admite infinitas soluções (por exemplo, tomando z livre). Logo o sistema é compatível e existe (x,y,z,w) satisfazendo T(x,y,z,w)=(2,4,1).

Resposta

Sim, o vetor (2,4,1) pertence à \mathrm{Im}(T).

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