128 Considere a base B=\{(1,2,1),(2,9,0),(3,3,4)\} do \mathbb{R}^{3} e seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a transformação linear tal que
T(1,2,1)=(1,0) \quad T(2,9,0)=(-1,1) \quad T(3,3,4)=(0,1)
Encontre uma fórmula para T(x, y, z) e use essa fórmula para obter T(7,13,7).

Passo 1

O enunciado dá a base
B=\{(1,2,1),\;(2,9,0),\;(3,3,4)\}
de \mathbb{R}^3 e define T pelos valores em cada vetor dessa base:
T(1,2,1)=(1,0),\quad T(2,9,0)=(-1,1),\quad T(3,3,4)=(0,1).
Para achar T(x,y,z), expressamos (x,y,z) como combinação linear
(x,y,z)=a\,(1,2,1)+b\,(2,9,0)+c\,(3,3,4)
e depois usamos a linearidade de T.

Passo 2

Montamos o sistema para (a,b,c):
\begin{cases} a+2b+3c = x,\\\\ 2a+9b+3c = y,\\\ a\;+\;0b+4c = z. \end{cases}

Passo 3

Da terceira equação vem
a = z - 4c.
Substituindo em 1ª e 2ª:
\begin{cases} (z-4c)+2b+3c = x \;\Rightarrow\;2b-c = x - z,\\\\ 2(z-4c)+9b+3c = y \;\Rightarrow\;9b-5c = y - 2z. \end{cases}
Resolvendo obtemos
b = 5x - y - 3z, \qquad c = 9x - 2y - 5z,
e então
a = z - 4c = -36x +8y +21z.

Passo 4

Pela linearidade,
T(x,y,z)=a\,(1,0)+b\,(-1,1)+c\,(0,1) =(a-b,\;b+c).
Substituindo a,b,c:
T(x,y,z)=(-41x+9y+24z,\;14x-3y-8z).

Passo 5

Para (x,y,z)=(7,13,7),
T(7,13,7)=(-41\cdot7+9\cdot13+24\cdot7,\;14\cdot7-3\cdot13-8\cdot7) =(-2,3).

Resposta

T(x,y,z)=(-41x+9y+24z,\;14x-3y-8z).
T(7,13,7)=(-2,3).

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