Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
f_{8}: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}, f_{8}(x, y, z)=2 x-3 y+4 z

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f_{8}\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R},\quad f_{8}(x,y,z)=2x-3y+4z
é uma transformação linear. O conteúdo aqui é definição de transformação linear em espaços vetoriais: devemos checar se f_8 preserva soma de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos a aditividade. Sejam
u=(x_{1},y_{1},z_{1}),\quad v=(x_{2},y_{2},z_{2})\in\mathbb{R}^{3}.
Então
u+v=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2},\,z_{1}+z_{2})
e
f_{8}(u+v) =2(x_{1}+x_{2})-3(y_{1}+y_{2})+4(z_{1}+z_{2})
que se distribui em
= (2x_{1}-3y_{1}+4z_{1}) + (2x_{2}-3y_{2}+4z_{2}) = f_{8}(u) + f_{8}(v).

Passo 3

Verificamos a homogeneidade. Seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,y,z). Então
\alpha u = (\alpha x,\alpha y,\alpha z)
e
f_{8}(\alpha u) =2(\alpha x)-3(\alpha y)+4(\alpha z) =\alpha\,(2x-3y+4z) =\alpha\,f_{8}(u).

Passo 4

Como f_{8} satisfaz
f_{8}(u+v)=f_{8}(u)+f_{8}(v) \quad\text{e}\quad f_{8}(\alpha u)=\alpha\,f_{8}(u),
concluímos que f_{8} é de fato uma transformação linear.

Resposta

f_{8} é transformação linear.

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