Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
f_{22}: \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}) dada por f_{22}(p)=p^{\prime}. ( \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}) é o espaço dos polinômios de grau \leq n.)

Passo 1

O enunciado define
f_{22}\colon \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}) \to \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}),\qquad f_{22}(p)=p',
onde \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}) é o espaço dos polinômios de grau \le n. Queremos verificar se f_{22} é transformação linear, ou seja, se preserva soma de vetores (aditividade) e multiplicação por escalar (homogeneidade).

Passo 2

Verificamos a aditividade. Sejam p,q\in \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}). Então
f_{22}(p+q) = (p+q)' = p' + q' = f_{22}(p) + f_{22}(q).

Passo 3

Verificamos a homogeneidade. Seja \alpha\in\mathbb{R} e p\in \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}). Então
f_{22}(\alpha p) = (\alpha p)' = \alpha\,p' = \alpha\,f_{22}(p).

Resposta

A função f_{22} é transformação linear.

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