[13.1] Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce.
r(t)=lang<= t^3, t^2rang<=

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da curva paramétrica r(t)=lang<= t^3, t^2rang<=, mostrando também a direção em que t cresce. O assunto é curvas paramétricas no plano e vamos precisar eliminar o parâmetro para obter a equação cartesiana e depois analisar domínio e orientação.

Passo 2

Começamos escrevendo as componentes: x=t^3 e y=t^2. Como y>=0, podemos expressar t=pmraizy. Substituindo em x fica x=(pmraizy)^3=pm y^3/2. Elevando ao quadrado obtemos a forma mais simples:
x^2 = y^3
com a restrição y>=0.

Passo 3

Agora estudamos como a curva é percorrida quando t varia em R. Para t<0 temos x<0, y>0: isso dá um ramo no segundo quadrante, indo de tto-infty (ponto muito alto e à esquerda) até t=0 (cúspide em (0,0)). Para t>0, temos x>0, y>0: isso dá o ramo no primeiro quadrante que sai do cusp em (0,0) e vai a tto+infty (muito alto e à direita).

Passo 4

No esboço, desenhe eixos x e y, trace a curva x^2=y^3 apenas para y>=0 (duas “pernas” simétricas em cima do eixo x), marque uma cúspide em (0,0) e coloque setas apontando no ramo esquerdo de cima para baixo até o cusp, e no ramo direito de baixo para cima após o cusp.

Resposta

A curva cartesiana é x^2=y^3,;y>=0. Tem um cusp em (0,0), com um ramo no 2º quadrante de tto-infty até t=0 e outro no 1º quadrante de t=0 até tto+infty, conforme as setas de orientação.

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