[13.1] Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da curva paramétrica
, mostrando também a direção em que
cresce. O assunto é curvas paramétricas no plano e vamos precisar eliminar o parâmetro para obter a equação cartesiana e depois analisar domínio e orientação.
Passo 2
Começamos escrevendo as componentes:
e
. Como
, podemos expressar
. Substituindo em
fica
. Elevando ao quadrado obtemos a forma mais simples:
com a restrição
.
Passo 3
Agora estudamos como a curva é percorrida quando
varia em
. Para
temos
: isso dá um ramo no segundo quadrante, indo de
(ponto muito alto e à esquerda) até
(cúspide em
). Para
, temos
: isso dá o ramo no primeiro quadrante que sai do cusp em
e vai a
(muito alto e à direita).
Passo 4
No esboço, desenhe eixos
e
, trace a curva
apenas para
(duas “pernas” simétricas em cima do eixo
), marque uma cúspide em
e coloque setas apontando no ramo esquerdo de cima para baixo até o cusp, e no ramo direito de baixo para cima após o cusp.
Resposta
A curva cartesiana é
. Tem um cusp em (0,0), com um ramo no 2º quadrante de
até
e outro no 1º quadrante de
até
, conforme as setas de orientação.