Considere a função
f(x, y)=cc 2 x^2 y+4 y^32 y^2+x^2, & se (x, y) neq(0,0) -1, & se (x, y)=(0,0)
f é contínua em (0,0)? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfrac2x^2y+4y^32y^2+x^2,&se (x,y)neq(0,0), -1,&se (x,y)=(0,0),
e pergunta se f é contínua em (0,0). Para isso, precisamos calcular
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
e ver se ele coincide com f(0,0)=-1.

Passo 2

Quando (x,y)neq(0,0), notamos que o numerador pode ser fatorado assim:
2x^2y+4y^3 =2yl(x^2+2y^2r)
Como o denominador é 2y^2+x^2, concluímos que
f(x,y) =2yl(x^2+2y^2r)x^2+2y^2 =2y

Passo 3

Portanto, para todo caminho que se aproxime de (0,0) com (x,y)neq(0,0), vale
f(x,y)=2y Longrightarrow lim(x,y)to(0,0)f(x,y) =lim(x,y)to(0,0)2y =0

Passo 4

Como o limite lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0 é diferente de f(0,0)=-1, a função não satisfaz a condição de continuidade em (0,0).

Resposta

A função f não é contínua em (0,0).

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