Calcule o trabalho realizado pela força F na partícula que se move ao longo de C
F(x, y)=-x^2 y i+2 y j, ao longo do segmento de reta que vai da origem até o ponto (a, 0) até (0, a)

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
W = integralCFcdot dr
da força
F(x,y) = -x^2y,i + 2y,j
ao longo de C, que é a união de dois segmentos:
de (0,0) a (a,0) (chamaremos de C1) e de (a,0) a (0,a) (chamaremos de C2).
Vamos computar separadamente W1 em C1 e W2 em C2, depois somar.

Passo 2

Trajeto C1colon (0,0)to(a,0). Parametrização
r1(t) = (t,0), 0<= t<= a
Então
r1'(t) = (1,0), F(r1(t)) = ( -t^2cdot 0,;2cdot 0 ) = (0,0)
Logo
W1 = integral0^aF(r1(t))cdot r1'(t),dt = integral0^a0,dt = 0

Passo 3

Trajeto C2colon (a,0)to(0,a). Parametrização
r2(t) = (,a - t,;t,), 0<= t<= a,
de modo que
r2'(t) = (-1,,1), F(r2(t)) = l(-,(a-t)^2,t,;2,tr)
Então o produto escalar é
Fl(r2(t)r)cdot r2'(t) = -(a-t)^2tcdot(-1) ;+;2tcdot 1 = (a-t)^2t ;+;2t
Portanto
W2 = integral0^al[(a-t)^2t + 2tr],dt
Separamos em duas integrais:
integral0^a(a-t)^2t,dt = integral0^al(a^2t -2a,t^2 + t^3r)dt = a^42 - 2a,a^33 + a^44 = a^412,
integral0^a2t,dt = l[t^2r]0^a = a^2
Logo
W2 = a^412 + a^2

Passo 4

Somando os dois trechos:
W = W1 + W2 = 0 + l(a^412 + a^2r) = a^412 + a^2

Resposta

W = a^412 + a^2

Exercícios relacionados