Considere a função
f(x, y)=cc 2 x^2 y+4 y^32 y^2+x^2, & se (x, y) neq(0,0) -1, & se (x, y)=(0,0)
f é contínua em (1 / 2,-1 / 2)? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)= dfrac2x^2y+4y^32y^2+x^2,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] -1,&se (x,y)=(0,0),
é contínua no ponto\bigl(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\bigr). Para isso, basta mostrar que o limite de f(x,y) quando (x,y)\to\bigl(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\bigr) existe e é igual a f\bigl(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\bigr).]

Passo 2

Observe que para (x,y)neq(0,0) temos f(x,y) como uma razão de polinômios em x,y. Uma razão de polinômios é contínua em todo ponto em que o denominador é diferente de zero.

Passo 3

No ponto l(tfrac12,-tfrac12r) o denominador vale
2y^2+x^2 =2l(-tfrac12r)^2+l(tfrac12r)^2 =2cdottfrac14+tfrac14 =tfrac12+tfrac14 =tfrac34neq0
Logo f é contínua nesse ponto e o limite coincide com o valor de f ali.

Passo 4

Para completar, calculamos
fl(tfrac12,-tfrac12r) =2l(tfrac12r)^2l(-tfrac12r) +4l(-tfrac12r)^3 2l(-tfrac12r)^2+l(tfrac12r)^2 =-tfrac14- tfrac12tfrac34 =-tfrac34tfrac34 =-1
Assim, lim(x,y)to(tfrac12,-tfrac12)f(x,y)=-1=f(tfrac12,-tfrac12).

Resposta

Sim, f é contínua em l(tfrac12,-tfrac12r).

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